Тригонометрические функции

Каждому значению угла $α$ соответствует единственное значение $sin α$. Значение $sin α$ зависит от значения $α$. Поэтому $sin α$ – функция от $α$. Функциями от $a$ также являются $cos α$, $tg α$, c$tg α$. Все эти четыре функции называют тригонометрическими функциями.

Введем понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла. Сделаем это с помощью единичного круга – такого круга, радиус которого равен 1.

Пусть на координатной плоскости дана единичная окружность и её начальный радиус $ОР$:

Говорят, что точка $А$ единичного круга соответствует углу $α$, если угол $POA = α$.

Синус угла α

Ордината точки единичного круга, которая соответствует углу $α$.

Косинус угла α

Абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу $α$.

Тангенс угла α

Отношение синуса угла $α$ к его косинусу.

Котангенс угла α

Отношение косинуса угла $α$ к его синусу.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла $α$ обозначают соответственно символами $sin α$, $cos α$, $tg α$, $ctg α$.

Свойства тригонометрических функций##

Таким образом $sin α$ – это ордината точки $А$ единичного круга, которая соответствует углу $α$:

Если $АН$ – перпендикуляр, опущенный из точки $А$ на ось $x$, то отрезок $АН$ называют линией синуса, а $ОН$ – линией косинуса. Если точка $А$ находится в I или II координатной четверти, то $sin α = АН$; если точка $А$ – в III или IV четверти, то $sin α = -АН$. Говорят, что в I и II четвертях синус угла положительный, а в III и IV четвертях отрицательный.
Знаки тригонометрических функций углов различных координатных четвертей также можно отобразить на рисунке:

Как видно из рисунка:

Линии косинусов для углов 60 ° и -60 ° совпадают, ибо точки $А$ и $А_1$ симметричны относительно оси x. Поэтому $cos (-60°) = cos 60 °$. И вообще, линии косинусов для углов $α$ и $-α$ всегда совпадают. Поэтому, какой бы ни был угол $a$, всегда $cos (-α) = cos α$.
Линии синусов $АН$ и $АХН$ имеют одинаковые длины, но размещены по разные стороны от оси $x$, поэтому их знаки различны. Итак, $sin (-α) = -sin α$ для каждого значения $α$.
Поскольку $sin α$ и $cos α$ – ордината и абсцисса некоторой точки единичного круга, уравнение которого $х^2 + у^2 = 1$, то всегда $sin^2 α + cos^2 α = 1$.

Из определений тангенса и котангенса вытекают также тождества:

$tg α = sin α / cos α$
$сtg α = cos α / sin α$
$tg α · сtg α = 1$

Данные три формулы правильные только при условии, что $tg α$ или $ctg α$ существуют (имеют значения), $tg α$ существует, если $cos α ≠ 0$, то есть если $α ≠ 90 ° (2n + 1)$; $ctg α$ существует, если $sin α ≠ 0$, то есть когда $α ≠ 180 ° n$, где $n$ – произвольное целое число.

Все эти четыре формулы называют соотношениями между тригонометрическими функциями одного аргумента, а $sin 2 α + cos 2 α = 1$ – основным тригонометрическим тождеством.

Пользуясь ими, можно значение любой тригонометрической функции выразить через соответствующее значение другой тригонометрической функции.

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест на тему “Тригонометрические функции”