Показательная функция

Показательной функцией называется функция, заданная формулой $y =a^x$ , где a > 0 и $a ≠ 1$.

Примеры других показательных функций: $y = 3^x$ , $y = 0,5^x$ и т.д. Для примера рассмотрим функцию, заданную равенством $y = 2^x$.

Функция у = 2 в степени x

Рассматриваемая функция $y = 2^x$ – пример показательной функции, а именно –показательная функция с основанием 2.

Составим таблицу ее значений для нескольких значений аргумента:

x	-2	-1	0	1	2	3
y	1/4	1/2	1	2	4	8

Построим график, на которых обозначены точки с координатами, соответствующими таблице (график слева). И построим по ним полный график функции:

Если бы на этой самой координатной плоскости обозначить больше точек с координатами $x$, $y$, которые удовлетворяют равенству $y = 2^x$ , они разместились бы, как показано на среднем графике. А если для каждого действительного значения $x$ вычислить соответствующее значение $у$ и обозначить на координатной плоскости точки с координатами $x$ и $y$, они разместятся на одной бесконечной кривой. Эта кривая – график функции $y = 2^x$ .

График функции $y = 2^x$ размещен в I и II координатных четвертях. При $x → -∞$, он как угодно близко подходит к оси $x$, но общих точек с ней не имеет. Говорят, что график функции $y = 2^x$ асимптотически приближается к оси $x$, что ось $x$ – асимптота этого графика. Когда $x → ∞$, он все дальше отходит от оси $x$. Как видим, функция $y = 2^x$ определена на множестве всех действительных чисел, ее область значений – промежуток (0; ∞).

На всей области определения функция возрастает; она ни парная, ни нечетная, ни периодическая.

Свойства показательной функции

Отметим основные свойства показательной функции:

1. Область определения функции $y - a^x$ – множество $R$. Потому что при каждом положительном $a$ и настоящем $x$ выражение $a^x$ имеет числовое значение.
2. Функция $y = a^x$ приобретает только положительные значения. Потому что если основа а степени положительная, то положительна и степень $a^x$.
3. Если $a$ > $1$, функция $y = a^x$ растет, а если $0$ < $a$ < $1$ – падает. Это свойство хорошо видно на графиках функций.
4. Функция $y = a^x$ каждое своё значения приобретает только один раз. То есть прямую, параллельную оси $x$, график показательной функции может пересечь только в одной точке. Это следует из свойства 3.
5. Функция $y = a^x$ ни парная, ни нечетная, ни периодическая.

Поскольку каждое своё значение она приобретает только один раз, то она не может быть парной или периодической. Не может она быть и нечетной, потому что не приобретает ни отрицательных, ни нулевых значений.

1. График каждой показательной функции проходит через точку $A (0; 1)$.
   Потому что если $a ≠ 0$, то $a^0 = 1$.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Тест по теме «Показательная функция»