Степенные ряды

Функциональные и степенные ряды

Возьмем последовательность натуральных чисел ${n}$ и поставим каждому ${n}$ в соответствие функцию $f_n (x)$. Если функции $f_n (x)$ определены на некотором множестве $x \in E$, $E \subset R$, то на множестве $E$ определено выражение:

$f_1 (x)+f_2 (x)+f_3 (x)+ \ldots +f_n (x)+ \ldots,$

состоящее из функций $f_n (x)$, которое называется функциональным рядом.

В общем виде функциональный ряд записывается как:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x)$

Примеры функциональных рядов

$1+\frac{\cos x}{2!}+\frac{\cos 2x}{3!}+\frac{\cos 3x} {4!} +\ldots +\frac{\cos nx}{(n+1)!}+\ldots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx} {(n+1)!}$

$e^{x}-\frac{e^{x+1}}{3}+\frac{ e^{x+2}}{9}-\frac{e^{x+3}}{27} +\ldots +(-1)^n\frac{ e^{x+n}}{3^n}+\ldots=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{ e^{x+n}}{3^n}$

Степенные ряды являются одним из видов функциональных рядов и в общем виде записываются как:

$a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+\ldots=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(x-x_0)^k$

где $a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots$ – постоянные, коэффициенты ряда,

$x_0$ – центр интервала сходимости ряда $|x-x_0|<R$,

$R$ – радиус сходимости степенного ряда.

Примеры степенных рядов

$\frac{1}{2}+\frac{2!(x-5)}{4}+\frac{3!(x-5)^2}{8}+\ldots +\frac{(n+1)!(x-5)^n}{2^{n+1}}+\ldots =\sum \limits_{n=0} ^{\infty} \frac{(n+1)!(x-5)^n}{2^{n+1}}$

$e^{x}-\frac{e^{x+1}}{3}+\frac{ e^{x+2}}{9}-\frac{e^{x+3}}{27} +\ldots +(-1)^n\frac{ e^{x+n}}{3^n}+\ldots=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{ e^{x+n}}{3^n}$

Сходимость степенных рядов

Сумму $S_n$ первых $n$ членов степенного ряда называют $n$–й частичной суммой:
$S_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n$

Если при определенном значении $x \in E$ существует конечный предел:

$\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x)$

то ряд называется сходящимся, а значение $S(x)$ называют суммой ряда. Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то такой ряд называется абсолютно сходящимся.
Если степенной ряд сходится в точке $x=x_1$, то он сходится абсолютно и при:

$|x|<|x_1 |$

Если степенной ряд расходится в точке $x=x_2$, то он расходится и при:

$|x|>|x_2 |$

Интервалом сходимости степенного ряда является:

$(x_0-R,x_0+R)$

Здесь $R$ – радиус сходимости степенного ряда. Степенной ряд расходится при:

$|x-x_0 |>R$

Для граничных точек интервала

$|x-x_0 |>R$

степенной ряд может, как сходится, так и расходится, для чего требуется дополнительное изучение.

Основные признаки сходимости

Приведем основные признаки, используемые для определения сходимости степенных рядов.

1-й признак сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$ и $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} v_n$

причем, $u_n \le v_n$ для всех номеров, начиная с некоторого $n$. Тогда:

1. Если ряд $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} v_n$ сходится, то сходится и ряд $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$

2. Если ряд $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$ расходится, то расходится и ряд $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} v_n$

2-й признак сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$ и $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} v_n$

и существует конечный и отличный от нуля предел:

$\lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{ u_n }{ v_n }\ne 0$

Тогда ряды

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$ и $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} v_n$

сходятся или расходятся одновременно.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

При исследовании степенных рядов на сходимость часто используется признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называют знакопеременным.

Ряд вида:

$b_1-b_2+b_3-b_4+ \ldots +{(-1)}^{n+1}b_{n+1}+\ldots=\sum\limits_{k=1} ^ {\infty}{(-1)}^{k+1}b_{k+1}$,

когда любые два соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся.

Очевидно, каждый знакочередующийся ряд является знакопеременным. В случае, когда выполняется два условия:

$b_1>b_2>b_3>b_4> \ldots >b_{n}> \ldots$, т.е когда члены ряда по модулю монотонно убывают

и

$\lim\limits_{n \to \infty }{a_n}=0$, т.е. когда общий член ряда стремится к нулю при $n \to \infty$, ряд сходится. Если, помимо этого, сходится ряд

$b_1+b_2+b_3+b_4+ \ldots + b_{n+1}+\ldots=\sum\limits_{k=1} ^ {\infty} b_{k+1}$

составленный из модулей исходного ряда, то такой ряд называют абсолютно сходящимся. Если признак Лейбница выполняется, но, при этом, ряд из абсолютных значений не сходится, то такой ряд называют условно сходящимся.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$

и существует конечный предел

$\lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{ u_{n+1} }{ u_n }=1$

Тогда, если $l<1$, то данный ряд сходится; если же $l>1$, то – расходится. Если $l=1$ , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.

Признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$

такой, что существует конечный предел

$\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt [n] { u_n }=1$

Тогда, если $l<1$, то ряд сходится. В случае, если $l>1$, то ряд расходится. Если же $l=1$, то вопрос о сходимости рядя требует дополнительного исследования.

Интегральный признак сходимости

Пусть дан ряд с положительными членами

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} u_n$

для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке $[1, +\infty)$ функция $f(x)$ такая, что $f(n)=a_n, n=1,2, \ldots$

Тогда данный ряд и несобственный интеграл $\int\limits_0^\infty f(x) dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Примеры исследования степенных рядов

Пример 1

Найти область сходимости ряда

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{(x-1)^{n+1}}{2^n {(n+1)}}$

Используем признак Даламбера. Учитывая, что

$\Bigl| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \Bigr|= \Bigl| \dfrac {(x-1)^{(n+1)+1}}{2^{n+1}(n+1+1)}: \dfrac {(x-1)^{n+1}}{2^n(n+1)}\Bigr|= \Bigl| \dfrac {(x-1)^{n+2}}{(x-1)^{n+1}}\cdot \dfrac {2^n}{2^{n+1}}\cdot \dfrac {n+1}{n+2}\Bigr|=\dfrac {|x-1|}{2} \cdot \dfrac{n+1}{n+2}$

находим:

$\lim\limits_{n \to \infty }\Bigl| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \Bigr|= \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac {|x-1|}{2} \cdot \dfrac{n+1}{n+2}\right)= \dfrac {|x-1|}{2} \cdot \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n}}=\dfrac {|x-1|}{2}$

Для определения требуемых значений $x$ решаем неравенство:

$\dfrac{|x-1|}{2}<1 \Leftrightarrow -1<\dfrac{x-1}{2}<1 \Leftrightarrow -2<x-1<2 \Leftrightarrow -1<x<3$

Таким образом, при $x \in (-1,3)$ ряд сходится абсолютно, а при $ x \notin (-1,3) $ ряд расходится. Это означает, что $(-1,3)$ – интервал сходимости данного ряда.

Для полного решения задачи необходимо исследовать сходимость ряда на концах интервала, при $x=-1$ и $x=3$.

При $x=3$ получаем ряд

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-1)^{n+1}}{2^n(n+1)}=\sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{(3-1)^{n+1}}{2^n (n+1)}= \sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{2^{n+1}}{2^n (n+1)}= \sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{2}{n+1}$

Применим 2-й признак сравнения и проведем сравнение этого ряда с гармоническим:

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{1}{n}$

Получаем:

$\lim\limits_{n \to \infty }\left( \dfrac{2}{n+1}:\dfrac{1}{n}\right)= \lim\limits_{n \to \infty }\left( \dfrac{2n}{n+1}\right)=\lim\limits_{n \to \infty }\left( \dfrac{2}{1+\dfrac{1}{n}}\right)=2 \ne 0$

Как известно, гармонический ряд расходится. Так как полученный предел отличен от нуля, то ряды

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{2}{n+1}$ и $\sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{1}{n}$

сходятся или расходятся одновременно. В данном случае, они расходятся, и, следовательно, исходный ряд при $x=2$ расходится.

При $x=-1$ получаем ряд

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-1)^{n+1}}{2^n(n+1)}=\sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{(-1-1)^{n+1}}{2^n (n+1)}= \sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{(-2)^{n+1}}{2^n (n+1)}= \sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}\cdot (2)^{n+1}}{2^n (n+1)}= \sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac{ (-1)^{n+1}\cdot 2}{n+1}$

Как было показано, этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных значений:

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty}\Bigl| \dfrac{ (-1)^{n+1}\cdot 2}{n+1} \Bigl|=\sum \limits_{n=1} ^{\infty} \dfrac {2}{n+1}$

расходится.

Используя признак Лейбница, выясним сходимость данного знакочередующегося ряда. Очевидно, что неравенство:

$b_n>b_{n+1} \Leftrightarrow \dfrac{2}{n+1}>\dfrac{2}{(n+1)+1} \Leftrightarrow \dfrac{2}{n+1}>\dfrac{2}{n+2}$

выполнено для всех $n=1,2,3, \ldots$

Выполняется и второе условие:

$\lim\limits_{n \to \infty } a_n = \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{3}{n+2}=0$

Оба условия признака Лейбница выполнены. Это означает, что знакочередующийся ряд

$\sum \limits_{n=1} ^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac {3}{n+2}$

сходится. Так как этот ряд не является абсолютно сходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.
Таким образом, областью сходимости исходного ряда является промежуток:

$x \in [-1,3)$

Пример 2

Найти область сходимости ряда

$\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{(x+3)^n}{n\ln^3{n}}$

Используем признак Даламбера. Учитывая, что

$\Bigl| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \Bigr|= \Bigl| \dfrac {(x+3)^{n+1}}{(n+1)\ln^3{(n+1)}}: \dfrac {(x+3)^n}{n\ln^3{n}}\Bigr|= \Bigl| \dfrac {(x+3)^{n+1}}{(x+3)^n}\cdot \dfrac {n}{n+1}\cdot \dfrac {\ln^3{n}}{\ln^3{(n+1)}}\Bigr|=|x+3| \cdot \dfrac{n}{n+1} \cdot \dfrac{\ln^3{n}}{\ln^3{(n+1)}}$

находим c помощью правила Лопиталя:

$\lim\limits_{n \to +\infty } \Bigl| \dfrac {a_{n+1}}{a_n}\Bigr| = \lim\limits_{n \to +\infty } \left( |x+3| \cdot \dfrac {n}{n+1}\cdot \dfrac{\ln^3{n}}{\ln^3{(n+1)}} \right)=|x+3| \cdot \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {1}{1+\dfrac{1}{n}} \cdot {\left(\lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {\ln{n}}{\ln{(n+1)}}\right)}^3= |x+3| \cdot \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n+1}}=|x+3|$

Для определения требуемых значений x решаем неравенство:

$|x+3|<1 \Leftrightarrow -1<x+3<1 \Leftrightarrow -4<x<-2$

Таким образом, при $x \in (-4,-2)$ ряд сходится абсолютно, а при $x \notin (-4,-2)$ ряд расходится. Это означает, что $(-4,-2)$ – интервал сходимости данного ряда.

Для полного решения задачи необходимо исследовать сходимость ряда на концах интервала, при $x=-4$ и $x=-2$.

При $x=-4$ получаем ряд

$\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{(x+3)^n}{n\ln^3{n}}=\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{(-4+3)^n}{n\ln^3{n}}=\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n\ln^3{n}}$

Воспользуемся интегральным признаком. Возьмем функцию:

$f(x)=\dfrac{1}{x \ln^3{x}}$

Очевидно, что для любых $x_1>x_2>2$:

$\dfrac{1}{x_2 \ln^3{x_2}}>\dfrac{1}{x_1 \ln^3{x_1}} \quad \Rightarrow \quad f(x_2 )>f(x_1 )$

Найдем неопределенный интеграл

$\int \dfrac {dx}{x \ln^3 {x}}=\int \dfrac {d(\ln{x})}{x \ln^3 {x}}=\left( -\dfrac{1}{2}\right)(\ln{x})^{-2}+C= -\dfrac{1}{2 \ln^2{x}}+C$

Далее:

$\int\limits_2^\infty f(x) dx=\int\limits_2^\infty \dfrac {dx}{x \ln^3 {x}}=\lim\limits_{d \to +\infty }\int\limits_2^d \dfrac{dx}{x\ln^3 {x}}=\lim\limits_{d \to +\infty }\left( -\dfrac{1}{2 \ln^2{x}}\Bigr|_2^d \right) = \lim\limits_{d \to +\infty } \left(-\dfrac{1}{2 \ln^2{d}}+\dfrac{1}{2 \ln^2{2}} \right) = \dfrac{1}{2 \ln^2{2}}$

Таким образом, несобственный интеграл сходится. Это значит, что ряд

$\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{1}{n\ln^3{n}}$

также сходится, а ряд

$\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n\ln^3{n}}$

сходится абсолютно.

При $x=-2$ получим ряд

$\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{(x+3)^n}{n\ln^3{n}}=\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{(-2+3)^n}{n\ln^3{n}}=\sum \limits_{n=2} ^{\infty} \dfrac{1}{n\ln^3{n}}$

Как было показано, этот ряд сходится абсолютно. Следовательно, область сходимости исходного ряда – промежуток $[-4, -2]$.

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме “Степенные ряды”