Дифференцирование неявных функций

Явные и неявные

В этой статье мы познакомимся с неявными функциями и техникой их дифференцирования. Вспомним для начала, как выглядят функции, заданные явно. Это “обычные” функции вида $y=f(x)$, с которыми вы уже имели дело и умеете вычислять их производные. Запись $y=f(x)$ обозначает, что мы функцию $y$ смогли выразить (явно представить) через её аргумент $x$. З неявными функциями дело обстоит иначе. Здесь мы не можем “перетащить” $y$ в левую сторону выражения, а все что содержит $x$ — в правую. Такие функциональные зависимости в общем виде можно записать так:

$F(x, y)=0$

Эта запись означает, что величины $x$ и $y$ как-то связанны между собой, но ничего не говорится о том, как $y$ выражается через $x$ (и можно ли это вообще сделать). Одну и ту же функцию (но не каждую) можно записать как в явном так и в неявном виде. Например, неявно заданную функцию $F(x, y)=3xy+\frac{5}{x}$ можно записать явно: $y(x)=-\frac{5}{3x^2}$. В этом случае нам удалось выразить $y$ через $x$. Или, если:

$F(x, y)=x^2+y^2-1=0$

то

$y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Здесь функция получилась многозадачной (именно двузначной, отвечающей двум знакам), но это не страшно. Мы все-равно представили $y$ как выражение зависящее от $x$. В правой стороне у нас присутствует только $x$.
Но существуют случаи, когда этого сделать нельзя. Можно навести множество примеров таких функций. Например:

$F(x, y)=y\ln x+e^yy^2$

Ну попробуйте выразить отсюда $y$ через $x$. То есть запишите эту функцию в виде $y=f(x)$. Вот вам и пример неявной заданной функции. Ещё пример:

$F(x, y)=x\sin x+y\sin y-12$

Здесь, мы хотя и не можем выразить $y$ через $x$, но мы все-равно можем считать $y$ функцией от аргумента $x$. Так как каждому значению $x$ будут соответствовать какие-то значения $y$.
Естественно, возникает вопрос о дифференцировании подобных функций. Вы уже понимаете, что эта операция очень важна, и было бы тяжело поверить, что математики ничего не придумали на этот счет.

Дифференцирование неявно заданных функций

Оказывается, что для того чтобы посчитать производную от $y$ по $x$ нам не обязательно решать уравнение:

$F(x, y)=0$

Теоретически можно доказать (пользуюсь определением производной, производя предельный переход и т. д.), что:

Формула дифференцирования неявной функции

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}$

Обозначение $\partial$ обозначает частную производную. Мы здесь имеем дело с двумя переменными $x$ и $y$ и берем производные от функции $F(x, y)$ по этим величинам. Так, выражение:

$\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}$

говорит, что берется производная от $F(x, y)$ по $x$, при этом величина $y$ считается постоянной. Следует обратить внимание на знак “минус” перед дробью, а также на то, что мы не можем сократить числитель и знаменатель на $\partial F(x, y)$, так как производные берутся по разным величинам. Вооружившись этой главной формулой вычисления производных от неявных функций, перейдем к разбору нескольких примеров.

Примеры

Пример 1

$F(x, y)=x^2+y^2-1$

$\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=2x,\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=2y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$

Пример 2

$F(x, y)=x\sin x+y\sin y-12$

$\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=\sin x+x \cos x,\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=\sin y+y \cos y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{\sin x+x\cos x}{\sin y+y\cos y}$

Пример 3

1. $F(x, y)=3xy+\frac{5}{x}$

$\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=3y-\frac{5}{x^2},\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=3x$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{3y-\frac{5}{x^2}}{3x}=-\frac{3yx^2-5}{3x^3}$

Но здесь мы можем выразить $y$ через $x$ явно:

$y=-\frac{5}{3x^2}$

Подставим это выражение в формулу для производной выше:

$\frac{dy}{dx}=\frac{10}{3x^3}$

А теперь поступим так, как будто нам с самого начала была известна явная зависимость $y=f(x)$. То есть продифференцируем функцию $y(x)=-\frac{5}{3x^2}$ по $x$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\Big(-\frac{5}{3x^2}\Big)=-\frac{5}{3}(-2)\frac{1}{x^3}=\frac{10}{3x^3}$

Получили то же самое. Значит мы все сделали правильно.

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!