Разложение функций в степенные ряды

Степенные ряды и их сходимость

Степенной ряд в общем виде записывается как:

$a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+\ldots=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(x-x_0)^k$,

где $a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots$ – постоянные, коэффициенты ряда,

$x_0$ – центр интервала сходимости ряда $|x-x_0|<R$,

$R$ – радиус сходимости.

Ряд называют сходящимся, когда для частичных сумм $S_n(x)$:

$S_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n$

существует предел, сумма ряда $S(x)$:

$\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x)$

Интервал сходимости степенного ряда определяется радиусом сходимости:

$|x-x_0|<R$

Сходимость на границе области $|x-x_0|=R$, обычно исследуется дополнительно. Степенной ряд вида:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k(x-x_0)^k$

сходится равномерно в любом круге вида $|x-x_0| \le{r}$, целиком лежащем внутри круга сходимости.

Примеры степенных рядов

$\frac{2!(x-2)}{2}+\frac{3!(x-5)^2}{4}+\ldots +\frac{(n+1)!(x-2)^n}{2^{n}} +\ldots =\sum \limits_{k=1} ^{\infty} \frac{(k+1)!(x-2)^k}{2^{k}}$

$\frac{x^{2}}{8\ln^{2}{2}}-\frac{x^{3}}{16\ln^{3}{2}}+ \frac{x^{4}} {32\ln^{4}{2}}-\ldots+(-1)^n\frac{ x^{n}}{2^{n+1}\ln^{n}{2}}+\ldots = \sum\limits_{k=2}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k}}{2^{k+1}\ln^{k}{2}}$

Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена

Возьмем функцию $f(x)$, которая является бесконечно дифференцируемой в точке $x_0$. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

$f(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

Этот ряд по степеням двучлена $(x-x_0 )$ называют рядом Тейлора.

В случае $x_0=0$ полученный степенной ряд:

$f(x)=f(0)+\dfrac{f{'}( 0)}{1!} x +\dfrac{f{''}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+ \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, используя замену переменных:

$x-x_0=t, \quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)$

Подставив:

$f(x)=f(x_0+t)=f(0)+\dfrac{f{'}(x_ 0)}{1!} t +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}t^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k$

получаем ряд Маклорена:

$g(t)=g(0)+\dfrac{g{'}( 0)}{1!}t +\ldots+\dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k$

Ряды Тейлора и Маклорена, как и любые степенные ряды, имеют соответствующий интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

$f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ в окрестности точки $x_0=2$.

С помощью замены:

$x-x_0=x-2=t$

функция сводится к виду:

$f(x)=f(t+2)=\dfrac{1}{1+t}$

Полученное выражение при $|t|<1$ является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем $(-t)$, и ряд записывается в виде:

$\dfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\ldots+(-1)^{n}t^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}t^{k}$

Возвращаясь к переменной $x$, получаем разложение по степеням двучлена $(x-2)$:

$\dfrac {1}{x-2}=1-(x-2)+ (x-2)^2-(x-2)^3+\ldots+(-1)^{n}(x-2)^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(x-2)^{k}, \quad |x-2|<1$

Разложение основных элементарных функций в степенной ряд

Разложение в степенной ряд многих функций проще осуществлять путем сведения задач к разложениям элементарных функций. Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости:

$e^x=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!},\quad |x|<\infty$

${a^x} = 1 + \large\frac{{x\ln a}}{{1!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^3}}}{{3!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^n}}}{{n!}}\normalsize + \ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{{(x\ln{a})}^n}{n!},\quad |x|<\infty$

$\ln \left( {1 + x} \right) = x - \large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize - \large\frac{{{x^4}}}{4}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize + \ldots= \sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!} ,\;\; - 1 < x \le 1$

$\ln x = 2\left[ {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize + \large\frac{1}{3}\normalsize {{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^3} + \large\frac{1}{5}\normalsize{{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^5} + \ldots } \right],\;\;x > 0$

$\sin x=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},\quad |x|<\infty$

$\cos x=1 -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},\quad |x|<\infty$

$\tg x = x + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{15}} \normalsize + \large\frac{{17{x^7}}}{{315}}\normalsize + \large\frac {{62{x^9}}}{{2835}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < \large\frac{\pi }{2} \normalsize$

$\ctg x = \large\frac{1}{x}\normalsize - \left({\large\frac{x}{3}\normalsize+ \large \frac{{{x^3}}}{{45}}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{945}} \normalsize + \large\frac{{2{x^7}}}{{4725}}\normalsize + \ldots } \right),\;\;\left| x \right| < \pi$

$\arcsin x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1$

$\arccos x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize - \left( {x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots} \right) ,\;\;\left| x \right| < 1$

$\arctg x = x - \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{5} \normalsize - \large\frac{{{x^7}}}{7}\normalsize + \ldots +\large\frac{{{{\left({-1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}\normalsize \pm \ldots ,\;\;\left| x \right| \le1$

$\ch x = 1 + \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}} {{4!}}\normalsize + \large\frac{{{x^6}}}{{6!}}\normalsize + \ldots + \large\frac {{{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize + \ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$

$\sh x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{{5!}} \normalsize + \large\frac{{{x^7}}}{{7!}}\normalsize + \ldots + \large\frac {{{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\normalsize + \ldots =\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{x^{2 k+1 }}{(2k+1)!}$

Примеры разложения функций в степенной ряд

Пример 1

Разложим в ряд Тейлора, функцию

$f(x)=(x-1)\ln (x^2-2x+2)$

в окрестности точки $x_0=1$. Выполнив замену переменной

$x-x_0=x-1=t$

записываем функцию в виде:

$g(t)=t \ln(1+t^2)$

Используя далее разложение логарифмической функции:

$\ln{(1+t^2)}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(t^2)}^{ k }}{ k!}= \sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}$

получаем

$g(t)=t\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k+1}}{ k!}$

Выполняем далее обратную замену переменной:

$f(x)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(x-1)}^{2 k+1}}{ k!}={(x-1)}^{3}-\dfrac{(x-1)^{5}}{2}+\dfrac{(x-1)^{7}}{6}-\ldots$

Пример 2

Разложим в ряд Маклорена функцию

$f(x)=(x-1) \cos{2x} + \sin{(x^2)}$

Используем разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций:

$\sin{(x^2)}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(x^2)}^{2 k -1}}{(2 k -1)!}= =\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}$

$\cos{2x}=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}=1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}$

В результате получаем:

$f(x)=(x-1) \cos{2x} + \sin{(x^2)}=x-1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\left(\dfrac{(-1)^{k}4^{k}(x^{2 k+1 }-x^{2k})}{(2 k)!}+ \dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}\right)$

$f(x)=x-1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}(4^{k}x^{2 k+1 }-4^{k}x^{2k}-2k x^{4k-2})}{(2 k)!}$

Разложение функции в ряд $x\rightarrow\infty$

При необходимости разложить функцию в ряд Тейлора при $x \to +\infty$ необходимо последовательно выполнить следующие действия:

• выполняем замену переменной $t=\dfrac{1}{x}$,
• полученную функцию $g(t)$ разложить в ряд Тейлора,
• с помощью обратной замены переменных записать искомое выражение для $f(x)$.

Пример

Разложим в ряд Тейлора, функцию

$f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$

при $x \to +\infty$. Выполнив замену переменной

$t=\dfrac{1}{x}, \quad x=\dfrac{1}{t}$

получаем:

$g(t)=\dfrac {1}{t}-\sqrt {\dfrac{1}{t^2}+1}=\dfrac{1-(1+t^2)^{1/2}}{t}$

Используем разложение степенной функции в ряд Тейлора:

$(1+t^2)^{1/2}=1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}^k}{2^kk!}$

Далее:

$g(t)=\dfrac{1}{t}\left(1-\left(1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2 \cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}^{k}}{2^kk!}\right)\right)$

$g(t)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2 \cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}{k-1}}{2^kk!}$

Выполняя обратную замену переменной, находим:

$f(x)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot5\cdots(2k-3)}{2^kk!\cdot{x}^{k-1}}$

Вам нужно срочно заказать статью по математике для публикации? Обратитесь за помощью к нашим экспертам!

Тест по теме «Разложение функций в степенные ряды»