Гиперболические и тригонометрические функции комплексных переменных

Гиперболические и тригонометрические функции – $\cosh z$, $\sinh z$, $\tanh z$, $\cos z$, $\sin z$, $\tan z$ могут быть определены степенными рядами, соотношениями между ними и показательной функцией (см. далее в настоящей статье); функции $\cosh z, \sinh z, \cos z, \sin z$ могут быть также определены как решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка

$d^2 \,w /d z^2 -w =0 \quad \text{и} \quad d^2 \,w /d z^2 -w =0$
(в которых $w$ – неизвестная функция) с соответствующими начальными условиями.

Определение тригонометрических функций

В элементарной математике используется также следующее определение тригонометрических функций: если на координатной плоскости радиус-вектор $\vec{r}$, имеющий единичную длину и направленный параллельно оси $Ox$, повернуть на угол $\varphi$ против часовой стрелки, то компоненты этого вектора окажутся равными $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$; отношение $y$-компоненты данного вектора к его $x$-компоненте будет равно $\tan \varphi$.

Такое определение, очевидно, допустимо только для действительного аргумента функций; для комплексного аргумента необходимо использовать дополнительные формулы, связывающие действительные и мнимые части косинуса и синуса с действительной и мнимой частью аргумента.

Аналитичность, четность и периодичность функций

Функции $\cosh z$, $\sinh z$, $\cos z$ и $\sin z$ аналитичны в открытой комплексной плоскости.

Функции $\cosh z$ и $\cos z$ – четные, а функции $\sinh z$, $\tanh z$, $\sin z$, $\tan z$ – нечетные. Тригонометрические функции являются периодическими функциями с действительными периодами; период функции $\tan z$ равен $\pi$, а периоды функций $\cos z$ и $\sin z$ равны $2\pi$. Гиперболические функции являются периодическими функциями с мнимыми периодами.

Соотношения между показательной, гиперболическими и тригонометрическими функциями

Между данными функциями имеют место следующие соотношения:

$e^z =\cosh z +\sinh z \;,\qquad e^{i z} =\cos z +i\,\sin z \;,$
$e^{-z} =\cosh z -\sinh z \;,\qquad e^{-i z} =\cos z -i\,\sin z \;,$
$\cosh z =\frac{1}{2} \,\bigl(e^z + e^{-z}\bigr) \;,\qquad \cos z =\frac{1}{2} \,\bigl(e^{i z} + e^{-i z}\bigr) \;,$
$\sinh z =\frac{1}{2} \,\bigl(e^z - e^{-z}\bigr) \;,\qquad \sin z =\frac{1}{2 i} \,\bigl(e^{i z} - e^{-i z}\bigr) \;,$
$\tanh z =\frac{ e^{2 z} -1 }{ e^{2 z} +1 } \;,\qquad \tan z =i\cdot \frac{ 1 -e^{2 i z} }{ 1 +e^{2 i z} } \;,$
$\cosh z =\cos(i z) \;,\qquad \cos z =\cosh(i z) \;,$
$i \,\sinh z =\sin(i z) \;,\qquad i \,\sin z =\sinh(i z) \;,$
$i \,\tanh z =\tan(i z) \;,\qquad i \,\tan z =\tanh(i z) \;.$

Выражение гиперболических и тригонометрических функций через гипергеометрические функции

Имеют место соотношения:

$\cosh z = {}_0F_1(1/2,\, z^2 /4) \;,\qquad \cos z = {}_0F_1(1/2,\, -z^2 /4) \;,$
$\sinh z = z\cdot {}_0F_1(3/2,\, z^2 /4) \;,\qquad \sin z = z\cdot {}_0F_1(3/2,\, -z^2 /4) \;.$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!