Гиперболические функции действительных переменных

Определение основных гиперболических функций смотрите в статье Гиперболические и тригонометрические функции комплексных переменных.

Гиперболический косинус действительного аргумента

Множеством значений функции $y=\cosh x$ является полуоткрытый интервал $[1,\,+\infty]$. Функция $y=\cosh x$ всюду непрерывна, имеет минимум в точке $x=0$ $(\cosh 0 =1)$, других экстремумов не имеет.

На рис. 1 a) представлены график функции $y=\cosh x$ (сплошная кривая) и парабола, заданная уравнением $y =1 +x^2/2$ (пунктирная кривая), аппроксимирующая первый график в окрестности точки $[0,1]$.

Рис. 1. Графики функций $y= \cosh x$ и $y= \sinh x$.
Пунктирная кривая на первом графике – это парабола, заданная уравнением $y =1 +x^2/2$ и аппроксимирующая график функции $y=\cosh x$ в окрестности точки $[0,0]$.

Гиперболический синус действительного аргумента

Функция $y=\sinh x$ – всюду непрерывная и монотонно возрастающая;

$\lim_{x\to-\infty} \sinh x =-\infty \;,\qquad \lim_{x\to \infty} \sinh x =+\infty \;.$

На рис. 1 b) представлен график функции $y=\sinh x$. Данный график центрально симметричен относительно начала координат. Точка $[0,0]$ является точкой перегиба кривой; угол наклона касательной в этой точке равен $\pi/4$.

Гиперболический тангенс действительного аргумента

Функция $y=\tanh x$ – всюду непрерывная и монотонно возрастающая; множеством значений данной функции является открытый интервал $(-1,1)$;

$\lim_{k\to -\infty} \tanh x =-1 \;,\qquad \lim_{x\to \infty} \tanh x =1 \;.$

На рис. 2 представлен график функции $y=\tanh x$. Данный график центрально симметричен относительно начала координат. Точка $[0,0]$ является точкой перегиба кривой; угол наклона касательной в этой точке равен $\pi/4$. Данный график похож на график функции $y =\arctan x$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Гиперболические функции действительных переменных»