Тригонометрические функции действительных переменных

Определения основных тригонометрических функций смотрите в статье Гиперболические и тригонометрические функции комплексных переменных.

Косинус действительного аргумента

Функция $y=\cos x$ обращается в нуль в точках $x_k=\pi \,(k+1/2)$, имеет максимумы в точках $x'_k =2\pi k$ и минимумы в точках $x''_k =2\pi \,(k+1/2)$.
$\cos x'_k =1 \;,\qquad \cos x''_k =-1 \qquad (k=0,\, \pm 1,\, \pm 2,...).$

Графиком данной функции является синусоида (см. далее в настоящей статье), проходящая через точку $[0,1]$; данный график симметричен относительно оси $y$.

Синус действительного аргумента

Функция $y=\sin x$ обращается в нуль в точках $x_k =\pi k$, имеет максимумы в точках $x'_k =2\pi \,(k+1/4)$ и минимумы в точках $x''_k =2\pi \,(k-1/4)$.
$\sin x'_k =1 \;,\qquad \sin x''_k =-1 \qquad (k=0,\, \pm 1,\, \pm 2,...).$

Графиком данной функции является синусоида (см. далее в настоящей статье), проходящая через точку $[0,0]$.

Тангенс действительного аргумента

Функция $y=\tan x$ обращается в нуль в точках $\xi_k =2\pi k/2$ и терпит разрыв в точках $\eta_k =2\pi \,(k/2 +1/4)$ $(k=0,\,\pm1,\,\pm2,...)$. В каждом интервале $X$, в котором данная функция непрерывна, она монотонно возрастает.

График функции $y=\tan x$ представлен на рис. 1. Точки пересечения данного графика с осью $x$ одновременно являются точками перегиба; касательные в этих точках составляют с положительным направлением оси $x$ угол $\pi/4$. Данный график состоит из ветвей, каждая из которых похожа на график функции $y =\mathrm{arctanh}\, x$ (см. статью “Обратные тригонометрические функции”).

Различные представления синусоидальных функций

Для рассматриваемой далее функции возможны различные представления:
$f(t) =\gamma \cdot e^{i\omega t} + \gamma^*\cdot e^{-i\omega t} =A\cdot \cos(\omega t) +B\cdot \sin(\omega t)$
$=a\cdot \cos(\omega t +\varphi) =a\cdot \sin(\omega t +\psi) \;.$
Здесь $t$ – действительная переменная; $\gamma$ – комплексный параметр; $\omega$, $A$, $B$, $a$, $\varphi$, $\psi$ – действительные параметры, причем $a\ge 0$. Эти параметры связаны между собой приведеными ниже соотношениями. Переменная $t$ обычно интерпретируется как время.

Данная функция называется синусоидальной функцией (общего вида); она описывает незатухающие гармонические колебания, характеризуемые частотой $\omega$, амплитудой $a$ и смещениями по фазе $\varphi$ и $\psi$.

Функция
$F(t) =e^{-s t}\cdot f(t) \;,$
где $s$ – дополнительный действительный неотрицательный числовой параметр, называется экспоненциально-синусоидальной функцией; она описывает затухающие гармонические колебания, характеризуемые коэффициентом затухания $s$, условной частотой $\omega$, начальной амплитудой $a$.

Соотношения между параметрами функции:

Величины $\gamma$, $A$, $B$, $a$, $\varphi$, $\psi$ связаны между собой соотношениями
$2\gamma =A -i B =a\cdot e^{i\varphi} =-i a\cdot e^{i\psi} \;,$
$A =2 \,\mathrm{Re}\, \gamma =a\cdot \cos \varphi =a\cdot \sin \psi \;,$
$B =-2 \,\mathrm{Im}\, \gamma =-a\cdot \sin \varphi =a\cdot \cos \psi \;,$
$a^2 =4 \,|\gamma|^2 =A^2 +B^2 \;,$
$\tan \varphi =-B/A \;,\qquad \tan \psi =A/B \;,$
$\varphi =\arg \gamma \;,\qquad \psi =\arg(i\gamma) =\varphi +2\pi/4 -2\pi r$
($r=0$ или $1$).

Основные свойства синусоидальных функций

Рассмотрим синусоидальную функцию
$f(t) =a \,\cos(\omega t +\varphi) =a \,\sin(\omega t +\psi) \;,$
где $a$, $\omega$, $\varphi$, $\psi =\mathrm{const}$, $a >0$, $\omega >0$.

Функция $f(t)$ является периодической с периодом $T =2\pi/\omega$.

Данная функция всюду непрерывна; обращается в нуль в точках $t_k =T k/2 -\psi/\omega$, имеет максимумы в точках $p'_k =T k -\varphi/\omega$ и минимумы в точках $p''_k =T\,(k+1/2)-\varphi/\omega =T\,(k+3/4)-\psi/\omega$; экстремальные значения функции $f(p'_k)=a$; $f(p''_k)=-a$ $(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$. Множеством значений данной функции является замкнутый интервал $[-a,a]$.

График данной функции называется синусоидой. Точки пересечения этого графика с осью $x$ являются точками перегиба; касательные в этих точках образуют с положительным направлением оси абсцисс угол, равный либо $\arctan(a\omega)$, либо $-\arctan(a\omega)$.

На рисунках 2, 3, 4 представлены графики функций $f(t)$ с различными смещениями по фазе, частотами и амплитудами.

Рис. 2. Графики синусоидальных функций с различными смещениями по фазе.

Здесь представлены графики функций $y =a\cdot \cos(\omega \,t +\varphi) =a\cdot \sin(\omega \,t +\psi)$ при фиксированных частоте $(\omega =2\pi/T)$ и амплитуде и различных смещениях по фазе:
$\begin{array}{llllllll} \varphi =2\pi/8 & (1), & \varphi =0 & (2), & \varphi =-2\pi/8 & (3), & \varphi =-2\pi/4 & (4);\\ \psi =2\pi\cdot 3/8 & (1), & \psi =2\pi/4 & (2), & \psi =2\pi/8 & (3), & \psi =0 & (4). \end{array}$

Рис. 3. Графики синусоидальных функций с различными частотами.

Здесь представлены графики функций $y =a\cdot \cos(\omega \,t +\varphi) =a\cdot \sin(\omega \,t +\psi)$ с одинаковыми амплитудами и фазами и различными частотами:
$a) \, \omega =\omega_1, \; b) \, \omega =\omega_2, \; c) \, \omega =\omega_3; \; \quad \omega_3 =2\,\omega_2 =4\,\omega_1 \;.$

Рис. 4. Графики синусоидальных функций с различными амплитудами.

Здесь представлены графики функции $y =a\cdot \cos(\omega \,t +\varphi) =a\cdot \sin(\omega \,t +\psi)$ при фиксированных частоте $(\omega =2\pi/T)$ и смещении по фазе и различных
амплитудах:

$a =a_1 \; (1),\; a =a_2 \; (2),\; a =a_3 \; (3); \quad a_3 =2 \,a_2 =4 \,a_1 \;.$

Основные свойства экспоненциально-синусоидальных функций

Рассмотрим функцию
$F(t) =a \,e^{-s t} \,\cos(\omega t +\varphi) =a \,e^{-s t} \,\sin(\omega t +\psi) \;,$
где $a$, $s$, $\omega$, $\varphi$, $\psi =\mathrm{const}$, $a >0$, $s \ge 0$, $\omega >0$.

Введем вспомогательные параметры

\Omega \equiv |\omega +i s| \quad \mbox{и} \quad h\equiv \arg(\omega +i) s

Функция $F(t)$ всюду непрерывна; обращается в нуль в точках $t_k =T k/2 -\psi/\omega$, имеет максимумы в точках $p'_k =T k -(\varphi +h)/\omega$ и минимумы в точках $p''_k =T\,(k +1/2) -(\varphi +h)/\omega$; экстремальные значения функции

$f(p'_k) = (a\omega/\Omega)\cdot \exp(-s \,p'_k) \;,\quad f(p''_k) =-(a\omega/\Omega)\cdot \exp(-s \,p''_k) \quad (k=0,\pm 1,...) \;.$

Функция $y=F(t)$ не является периодической, однако она обращается в нуль, а также достигает максимальных и минимальных значений через промежутки одинаковой длины, равной $T$.

График функции $y=F(t)$ (см. рис. 5) расположен в области, ограниченной графиками функций $y=a\,e^{-s t}$ и $y=-a\,e^{-s t}$ и имеет асимптоту, совпадающую с осью абсцисс. Абсциссы точек касания рассматриваемой кривой с графиком функции $y=a \,e^{-s t}$ равны $q'_k =T k -\varphi/\omega$; абсциссы точек ее касания с графиком функции $y =-a\,e^{-s t}$ равны $q''_k =T \,(k +1/2) -\varphi/\omega$. Абсциссы точек перегиба $H_k =T k/2 -(\psi +2 h)/\omega$.

Рис. 5. Графики экспоненциально-синусоидальной зависимости.

Здесь представлены графики функции $y =a \,e^{-s t} \cdot\cos(\omega \,t +\varphi)$
(сплошная кривая), $y= a\cdot e^{-c t}$ и $y= -a\cdot e^{-c t}$ (кривые из точек).
$p_k =T k/2 -(\varphi +h)/\omega$ – точки максимумов и минимумов первой функции;
$q_k =T k/2 -\varphi/\omega$ – абсциссы точек касания графиков;
$H_k =T k/2 -(\psi +2 h)/\omega$ – абсциссы точек перегиба первого графика
($k=0,\pm 1,\pm 2,...$).

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест на тему “Тригонометрические функции действительных переменных”