Разложение гиперболических и тригонометрических функций в степенные ряды, в бесконечные произведения и на простые дроби

Основные формулы разложения в степенные ряды

При $|z|<\infty$
$\cosh z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ z^{2 k} }{(2 k)!} =1 +\frac{z^2}{2!} +\frac{z^4}{4!} +... \;;$
$\sinh z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ z^{2 k +1} }{(2 k +1)!} =z +\frac{z^3}{3!} +\frac{z^5}{5!} +... \;;$
$\cos z = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{ z^{2 k} }{(2 k)!} =1 -\frac{z^2}{2!} +\frac{z^4}{4!} -... \;;$
$\sin z = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{ z^{2 k +1} }{(2 k +1)!} =z -\frac{z^3}{3!} +\frac{z^5}{5!} -... \;.$

Дополнительные формулы разложения в степенные ряды

$\tanh z =\frac{1}{z} \,\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\cdot |B_{2 k}|\cdot \bigl(2^{2 k}-1\bigr)\cdot \frac{ (2 z)^{2 k} }{(2 k)!}$
$=z -(1/3)\cdot z^3 +(2/15)\cdot z^5 -(17/315)\cdot z^7 +(62/2835)\cdot z^9 -...$
$(|z|< \pi/2) \;;$
$\tan z =\frac{1}{z} \,\sum_{k=1}^{\infty} |B_{2 k}|\cdot \bigl(2^{2 k}-1\bigr)\cdot \frac{ (2 z)^{2 k} }{(2 k)!}$
$=z +(1/3)\cdot z^3 +(2/15)\cdot z^5 +(17/315)\cdot z^7 +(62/2835)\cdot z^9 +...$
$(|z|< \pi/2) \;;$
$z/\tanh z =1 +\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\cdot |B_{2 k}|\cdot \frac{ (2 z)^{2 k} }{(2 k)!}$
$=1 +(1/3)\cdot z^2 -(1/45)\cdot z^4 +(2/945)\cdot z^6 -(1/4725)\cdot z^8 +...$
$(|z|< \pi) \;;$
$z/\tan z =1 -\sum_{k=1}^{\infty} |B_{2 k}|\cdot \frac{ (2 z)^{2 k} }{(2 k)!}$
$=1 -(1/3)\cdot z^2 -(1/45)\cdot z^4 -(2/945)\cdot z^6 -(1/4725)\cdot z^8 -...$
$(|z|< \pi) \;;$
$1/\cosh z =1+ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot |E_{2 k}|\cdot \frac{ z^{2 k} }{(2 k)!}$
$=1 -(1/2)\cdot z^2 +(5/24)\cdot z^4 -(61/720)\cdot z^6 +(277/8064)\cdot z^8 -...$
$(|z|< \pi/2) \;;$
$1/\cos z =1+ \sum_{k=1}^{\infty} |E_{2 k}|\cdot \frac{ z^{2 k} }{(2 k)!}$
$=1 +(1/2)\cdot z^2 +(5/24)\cdot z^4 +(61/720)\cdot z^6 +(277/8064)\cdot z^8 +...$
$(|z|< \pi/2) \;;$
$z/\sinh z =1 +\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot 2 \,|B_{2 k}| \,\bigl(2^{2 k -1}-1\bigr)\cdot \frac{ z^{2 k} }{(2 k)!}$
$=1 -(1/6)\!\cdot\! z^2 +(7/360)\!\cdot\! z^4 -(31/15120)\!\cdot\! z^6 +(127/604800)\!\cdot\! z^8 -...$
$(|z|< \pi) \;;$
$z/\sin z =1 +\sum_{k=1}^{\infty} 2 \,|B_{2 k}| \,\bigl(2^{2 k -1}-1\bigr)\cdot \frac{ z^{2 k} }{(2 k)!}$
$=1 +(1/6)\!\cdot\! z^2 +(7/360)\!\cdot\! z^4 +(31/15120)\!\cdot\! z^6 +(127/604800)\!\cdot\! z^8 +...$
$(|z|< \pi) \;.$
Здесь $B_k$ – числа Бернулли, $E_k$ – числа Эйлера.

Оценка остатков разложения функций в степенные ряды

a) При $|z|<\infty$
$\cosh z =\sum_{k=0}^{N-1} \frac{ z^{2 k} }{(2 k)!} +\varrho_N(z)\cdot \frac{ z^{2 N} }{(2 N)!} \;,$
где
$\varrho(z) ={}_1 F_2\bigl(1;\, N +1/2,\, N+1;\, z^2/4\bigr) \;;$
при $|z|^2 < (2 N +1)(2 N +2)$ имеет место
$|\varrho_N(z)|< \left(1 -\frac{|z|^2}{(2 N +1)(2 N +2)}\right)^{-1} \;.$

b) При $|z|<\infty$
$\sinh z =\sum_{k=0}^{N-1} \frac{ z^{2 k +1}}{ (2 k +1)! } +\varrho_N(z)\cdot \frac{ z^{2 N +1} }{ (2 N +1)! } \;,$
где
$\varrho(z) ={}_1 F_2\bigl(1;\, N +3/2,\, N+1;\, z^2 /4\bigr) \;;$
при $|z|^2 < (2 N +2)(2 N +3)$ имеет место
$|\varrho_N(z)|< \left(1-\frac{ |z|^2 }{(2 N +2)(2 N +3)}\right)^{-1} \;.$

Разложения функций в бесконечные произведения

$\cosh(z \,\pi/2) = \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 +\Bigl(\frac{z}{2 k -1}\Bigr)^2\right) \;, \quad \cos(z \,\pi/2) = \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 -\Bigl(\frac{z}{2 k -1}\Bigr)^2\right) \;,$
$\frac{ \sinh(z \,\pi/2) }{z \,\pi/2} = \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 +\Bigl(\frac{z}{2 k}\Bigr)^2\right) \;, \quad \frac{ \sin(z \,\pi/2) }{z \,\pi/2} = \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 -\Bigl(\frac{z}{2 k}\Bigr)^2\right) \;.$

Разложение функций на простые дроби

При $i \,z /\pi \ne 0,\pm 1,\pm 2,...$
$\frac{z}{\tanh z} =1 +2 \,z^2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(z^2 +(\pi \,k)^2\Bigr)^{-1} \;,$
$\frac{z}{\sinh z} =1 +2 \,z^2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \Bigl(z^2 +(\pi \,k)^2\Bigr)^{-1} \;,$
$\frac{z}{(\sinh z)^2} =\sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigl(z +i\, \pi \,k\Bigr)^{-2} \;.$

При $z /\pi \ne 0,\pm 1,\pm 2,...$
$\frac{z}{\tan z} =1+ 2 \,z^2\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(z^2 -(\pi k)^2\Bigr)^{-1} \;,$
$\frac{z}{\sin z} =1+ 2 \,z^2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \Bigl(z^2 -(\pi k)^2\Bigr)^{-1} \;,$
$\frac{z}{(\sin z)^2} =\sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigl(z -(\pi k)\Bigr)^{-2} \;.$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!