Решение трансцендентных уравнений, содержащих гиперболические функции

Решение трансцендентных уравнений, содержащих гиперболический тангенс

Корнями уравнения $\tanh z =\tau$ ($\tau =\text{const}$) являются элементы последовательности
$z_k =\mathrm{arctanh}\, \tau + i\cdot \pi \,k \qquad (k=0,\, \pm 1,\, \pm 2,...) \;.$

Нулями функции $\tanh z$ (которые совпадают с полюсами функции $1/\tanh z$) являются элементы последовательности
$z_k =i\cdot \pi \,k \qquad (k=0,\, \pm 1,\, \pm 2,...) \;.$

Нулями функции $1/\tanh z$ (которые совпадают с полюсами функции $\tanh z$) являются элементы последовательности
$z_k =i\cdot \pi \,(k +1/2) \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Решение трансцендентных уравнений, содержащих гиперболический косинус

Корнями уравнения $\cosh z =\tau$ ($\tau =\text{const}$) являются элементы двух последовательностей
$z'_k = z_0 +i\cdot 2\pi \,k \quad \text{и} \quad z''_k = -z_0 +i\cdot 2\pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...),$
где $z_0 =\mathrm{arccosh}\, \tau$.

Иначе говоря, корнями данного уравнения являются числа
$z_k =\pm \mathrm{arccosh}\, \tau +i\cdot 2\pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Корнями уравнения $\cosh z =1$ являются элементы последовательности
$z_k =i\cdot 2\pi \,k \qquad (k =0, \pm 1, \pm 2,...) \;.$

Решение трансцендентных уравнений, содержащих гиперболический синус

Корнями уравнения $\sinh z =\tau$ ($\tau =\text{const}$) являются элементы двух последовательностей
$z'_k = z_0 +i\cdot 2\pi \,k \quad \text{и} \quad z''_k = -z_0 +i\cdot 2\pi \,(k +1/2) \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...),$
где $z_0 =\mathrm{arcsinh}\, \tau$.

Иначе говоря, корнями данного уравнения являются числа
$z_k =(-1)^k \,\mathrm{arcsinh}\, \tau +i\cdot \pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Нулями функции $\sinh z$ являются элементы последовательности
$z_k =i\cdot \pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Решение трансцендентных уравнений, содержащих гиперблический косинус и гиперблический синус

Рассмотрим уравнение $F(z) =\tau$ относительно переменной $z$, где
$F(z) =\alpha \,\cosh z +\beta \,\sinh z$
($\alpha$, $\beta$, $\tau =\text{const}$). Левая часть данного уравнения может быть также представлена в виде
$F(z) =\gamma_1 \,e^{z} +\gamma_2 \,e^{-z} \;,$
где
$\gamma_1 =\frac{1}{2} \,(\alpha +\beta) \;,\qquad \gamma_2 =\frac{1}{2} \,(\alpha -\beta) \;.$

Множество значений функции $F(z)$ охватывает всю открытую комплексную плоскость.

Уравнение $F(z)=\tau$ можно решать следующими способами:

• замена неизвестной по формуле $e^{z}=\xi$ (при этом $F(z)=\gamma_1 \,\xi +\gamma_2 /\xi$) приводит к квадратному уравнению относительно $\xi$;
• замена неизвестной по формуле $\tanh(z/2) =\eta$, при этом
  $F(z) =\alpha \cdot (1 +\eta^2)/(1 -\eta^2) +\beta \cdot 2\eta/(1 -\eta^2) \;,$
  приводит к квадратному уравнению относительно $\eta$.

Нулями функции $\Phi(z)=F(z)-\tau$ являются элементы двух последовательностей
$z'_k = -i\cdot \ln \xi' +i\cdot 2\pi \,k = 2\cdot \mathrm{arctanh}\, \eta' +i\cdot 2\pi \,k \;,$
$z''_k = -i\cdot \ln \xi'' +i\cdot 2\pi \,k = 2\cdot \mathrm{arctanh}\, \eta'' +i\cdot 2\pi \,k$
$(k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...)$, где $\xi'$, $\eta'$, $\xi''$, $\eta''$ – числа, связанные между собой соотношениями
$\xi' = \frac{ 1+i\,\eta' }{ 1-i\,\eta' } \;,\qquad \eta' = i\cdot \frac{ 1-\xi' }{ 1+\xi' } \;,$
$\xi'' = \frac{ 1+i\,\eta'' }{ 1-i\,\eta''} \;,\qquad \eta''= i\cdot \frac{ 1-\xi''}{ 1+\xi'' } \;.$
При этом

$\xi'$ и $\xi''$ являются корнями уравнения
$\gamma_1\cdot \xi^2 -\tau\cdot \xi +\gamma_2 =0 \;;$

если ($\alpha +\tau)\ne 0$, то $\eta'$ и $\eta''$ являются корнями квадратного уравнения
$(\alpha +\tau)\cdot \eta^2 +2 \beta \cdot \eta +(\alpha -\tau) =0 \;;$

если ($\tau -\alpha)\ne 0$, то $1/\eta'$ и $1/\eta''$ являются корнями квадратного уравнения, кооторое получается из предыдущего приведенного здесь уравнения с помощью элементарных преобразований.

Каждый нуль функции $\Phi(z)$ является простым.

Корнями уравнения
$\alpha \,\cosh z +\beta \,\sinh z =\alpha$
являются элементы двух последовательностей
$z'_k =-2 \,\mathrm{arctanh}\,(\beta/\alpha) +i\cdot 2\pi \,k \;,\qquad z''_k =i\cdot 2\pi \,k$
$(k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...)$.

Корнями уравнения
$\alpha \,\cosh z +\beta \,\sinh z =-\alpha$
являются элементы двух последовательностей
$z'_k =-2 \,\mathrm{arctanh}\,(\alpha/\beta) +i\cdot 2\pi \,k \;, \qquad z''_k =i\cdot 2\pi \,(k +1/2)$
$(k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...)$.

Уравнение $F(z)=\alpha$ можно также решать следующим образом: данное уравнение преобразуется к виду
$\sinh z \cdot \bigl(\alpha \,\tanh(z/2) +\beta\bigr) =0 \;;$
при этом должно быть $\cosh(z/2)\ne 0$.

Аналогично уравнение $F(z)=-\alpha$ преобразуется к виду
$\sinh z \cdot \bigl(\alpha /\tanh(z/2) +\beta\bigr) =0 \;;$
при этом должно быть $\sinh(z/2)\ne 0$.

Отметим также, что уравнение $F(z)=-\alpha$ равносильно уравнению $F(\widetilde{z})=\alpha$ относительно переменной $\widetilde{z} =z \pm i \,\pi$.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Решение трансцендентных уравнений, содержащих гиперболические функции»