Функциональные соотношения для тригонометрических функций

Соотношения между тригонометрическими функциями с одинаковыми значениями аргумента

$\tan z =\sin z /\cos z \;, \qquad (\cos z)^2 +(\sin z)^2 =1 \;,$
$1 +(\tan z)^2 =(\cos z)^{-2} \;, \qquad 1 +(\tan z)^{-2} =(\sin z)^{-2} \;.$
Формулы b), c) и d) позволяют выразить через любую из трех функций $\cos x$, $\sin x$, $\tan x$ две другие данные функции с точностью до знака:
$\cos z =\pm \sqrt{1 -(\sin z)^2} =\pm \frac{1}{ \sqrt{1 +(\tan z)^2} } =\pm \frac{1/\tan z}{ \sqrt{1 +(1/\tan z)^2} } \;,$
$\sin z =\pm \sqrt{1 -(\cos z)^2} =\pm \frac{\tan z}{ \sqrt{1 +(\tan z)^2} } =\pm \frac{1}{ \sqrt{1 +(1/\tan z)^2} } \;,$
$\tan z =\pm \frac{ \sqrt{1 -(\cos z)^2} }{\cos z} =\pm \frac{\sin z}{ \sqrt{1 -(\sin z)^2} } \;.$

Формулы приведения

Следующие соотношения представляют собой частные случаи форул сложения (см. пункт 3); они позволяют выражать значения тригонометрических функций для любого значения аргумента $z$, учитывая четность и периодичность соответствующей функции, через значения тригонометрических функций от аргумента $z'$, удовлетворяющего условию $0\le \text{Re} z'< \pi/4$. В частности, значения тригонометрических функций от произвольного действительного аргумента могут быть выражены через значения функций от аргумента, заключенного между $0$ и $\pi/4$.
$\cos(\pi +z) =-\cos z \;,\qquad \sin(\pi +z) =-\sin z \;,$
$\cos(\pi/2 -z) =\sin z \;,\qquad \sin(\pi/2 -z) =\cos z \;,$
$\tan(\pi/2 -z) =1/\tan z \;.$

С помощью данных формул можно составить таблицу формул приведения (см. таблицу 1).

Таблица 1. Формулы приведения для тригонометрических функций

	$z' =\pi/2 \pm z$	$z' =\pi \pm z$	$z' =(3/2) \,\pi \pm z$	$z' =2\pi \pm z$
$\cos z'$	$\mp \sin z$	$-\cos z$	$\pm \sin z$	$\cos z$
$\sin z'$	$\cos z$	$\mp \sin z$	$-\cos z$	$\pm \sin z$
$\tan z'$	$\mp 1/\tan z$	$\pm \tan z$	$\mp 1/\tan z$	$\pm \tan z$

Формулы сложения для тригонометрических функций

$\cos(z_1 +z_2) =\cos z_1 \cdot \cos z_2 -\sin z_1 \cdot \sin z_2 \;,$

$\cos(z_1 -z_2) =\cos z_1 \cdot \cos z_2 +\sin z_1 \cdot \sin z_2 \;,$

$\sin(z_1 +z_2) =\sin z_1\cdot \cos z_2 +\cos z_1 \cdot \sin z_2 \;,$

$\sin(z_1 -z_2) =\sin z_1 \cdot \cos z_2 -\cos z_1 \cdot \sin z_2 \;,$

$\tan(z_1 +z_2) =\frac{ \tan z_1 +\tan z_2 }{ 1 -\tan z_1 \cdot \tan z_2 } \;,$

$\tan(z_1 -z_2) =\frac{\tan z_1 -\tan z_2 }{ 1 +\tan z_1 \cdot \tan z_2 } \;.$

Если $z_1=x_2$ и $z_2=x_2$ – действительные переменные, то формулы сложения для косинуса и синуса легко получить приравнивая действительные и мнимые части соотношения
$\cos(x_1+x_2) + i\cdot \sin(x_1+x_2) = \\ =\bigl(\cos x_1 + i\cdot \sin x_1\bigr)\cdot \bigl(\cos x_2 +i\cdot \sin x_2\bigr) \;.$
(которое следует из равентсва $\exp\bigl(i\,(x_1 +x_2)\bigr) =\exp(i\,x_1)\cdot \exp(i\,x_2)$). С помощью принципа аналического продолжения результат обобщается на случай произвольных ограниченных комплексных значений $z_1$ и $z_2$.

Если $u(z) =\alpha \,\cos z +\beta \,\sin z$, где $\alpha$, $\beta =\text{const}$, и $u'(z) =(d/d z) \,u(z)$, то

$u(z_1 +z_2) = u(z_1)\cdot \cos z_2 +u'(z_1)\cdot \sin z_2 \;,$

$u(z_1 -z_2) = u(z_1)\cdot \cos z_2 -u'(z_1)\cdot \sin z_2 \; \;.$

Дополнительные формулы сложения для тангенса:
$\tan(z_1 +z_2) = \frac{\sin(2 \,z_1) +\sin(2 \,z_2)}{\cos(2 \,z_1) +\cos(2 \,z_2)} \;,$

$\tan(z_1 +z_2) = \frac{\cos(2 \,z_2) -\cos(2 \,z_1)}{\sin(2 \,z_1) -\sin(2 \,z_2)} \;.$
Данные формулы можно использовать при определении действительной и мнимой частей функций $\tan z$ и $1/\tan z$ комплексного аргумента.

Формулы e) и f) можно получить следующим образом:

$\tan(z_1 +z_2) =\frac{\sin(z_1 +z_2)}{\cos(z_1 +z_2)} =\frac{2 \,\sin(z_1 +z_2)\cdot \cos(z_1 -z_2)}{2 \,\cos(z_1 +z_2)\cdot \cos(z_1 -z_2)} =... \;,$

$\tan(z_1 +z_2) =\frac{\sin(z_1 +z_2)}{\cos(z_1 +z_2)} =\frac{2 \,\sin(z_1 +z_2)\cdot \sin(z_1 -z_2)}{2 \,\cos(z_1 +z_2)\cdot \sin(z_1 -z_2)} =... \;,$

откуда следует необходимый результат.

Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента

$\cos(2 z) =(\cos z)^2 -(\sin z)^2 =\frac{1 -(\tan z)^2}{1 +(\tan z)^2 } \;,$

$\sin(2 z) =2\,\sin z \,\cos z =\frac{2\,\tan z}{1 +(\tan z)^2} \;,$

$\tan(2 z) =\frac{2\,\tan z}{1 -(\tan z)^2} \;,$

$2\,\bigl(\cos(z/2)\bigr)^2 =1 +\cos z \;,$

$2\,\bigl(\sin(z/2)\bigr)^2 =1 -\cos z \;,$

$\tan(z/2) =\frac{\sin z}{1 +\cos z} =\frac{1 -\cos z}{\sin z} \;.$

Если $f(z)$ – рациональная или дробно-рациональная функция от $\cos z$ и $\sin z$, то с помощью формул a) и b) ее можно представить в виде дробно-рациональной функции одной переменной $\xi=\tan(z/2)$. Поэтому при решении уравнения $f(z)=0$ часто оказывается целесообразной замена независимой переменной по формуле $\xi=\tan(z/2)$. Аналогичная замена переменной может применяться при интегрировании функции $f(z)$.

Формулы для кратных значений аргумента

Пусть $m$ – целое положительное число.

$\cos(m z) =T_m (\cos z) \;,\qquad \sin(m z) =\frac{1}{m} \,\sin z \cdot T'_m (\cos z) \;,$

где $T_m(\xi)$ и $T'_m(\xi)$ – полиномы Чебышева и их производные.

$\cos(m \,z) = \sum_{k=0}^{m/2} (-1)^k \,C_m^{2 k}\cdot \bigl(\cos z\bigr)^{m -2 k}\cdot \bigl(\sin z\bigr)^{2 k}$

$= (\cos z)^m -C_m^2 \cdot (\cos z)^{m-2}\cdot (\sin z)^2$

$+C_m^4 \cdot (\cos z)^{m-4}\cdot (\sin z)^4 -... \;;$

$\sin(m\,z) = \sum_{k=0}^{(m-1)/2} (-1)^k \,C_m^{2 k +1}\cdot (\cos z)^{m -2 k -1}\cdot (\sin z)^{2 k +1}$

$= C_m^1 \cdot (\cos z)^{m-1}\cdot \sin z -C_m^3 \cdot (\cos z)^{m-3}\cdot (\sin z)^3$

$+C_m^5 \cdot (\cos z)^{m-5}\cdot (\sin z)^5 -... \;;$

$\tan(m \,z) = \frac{ \sum_k (-1)^k \,C_m^{2 k +1}\cdot (\tan z)^{2 k +1} } { \sum_k (-1)^k \,C_m^{2 k}\cdot (\tan z)^{2 k} }$

$= \frac{ C_m^1 \cdot \tan z -C_m^3 \cdot (\tan z)^3 +C_m^5 \cdot (\tan z)^5 -... } { 1 -C_m^2 \cdot (\tan z)^2 +C_m^4 \cdot (\tan z)^4 -... } \;.$

Если $z=x$ – действительная переменная, то формулы для кратных значений аргумента косинуса и синуса легко получить приравнивая действительные и мнимые части соотношения
$\cos(m\,x) + i\,\sin(m\,x) =\bigl(\cos x + i\,\sin x\bigr)^m$

$=\sum_{k=0}^{m} C_m^k \cdot (\cos x)^{m-k}\cdot (i\,\sin x)^k \;.$
(которое следует из равентсва $e^{imx}=\bigl(e^{ix}\bigr)^m$). Спомощью принципа аналического продолжения результат обобщается на случай произвольного ограниченного комплексного значения $z$.

Степени тригонометрических функций

a) Если $m$ – нечетное положительное число, то

$(\cos z)^m = (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-1)/2} C_m^k \cdot \cos\bigl((m -2 k) \,z\bigr) \;, \\ (\sin z)^m = (-1)^{(m-1)/2}\cdot (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-1)/2} (-1)^k \,C_m^k \cdot \sin\bigl((m -2 k) \,z\bigr) \;.$

b) Если $m$ – четное неотрицательное число, то

$(\cos z)^m = (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-2)/2} C_m^k \cdot \cos\bigl((m -2 k) \,z\bigr) +(1/2)^m \cdot C_m^{m/2} \;,$

$(\sin z)^m = (-1)^{m/2}\cdot (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-2)/2} (-1)^k \cdot C_m^k \cdot \cos\bigl((m -2 k) \,z\bigr)$

$+(1/2)^m \cdot C_m^{m/2} \;.$

Выражение сумм тригонометрических функций через произведения некоторых других тригонометрических функций

Обозначим

$\xi \equiv (z_1 +z_2)/2 \quad\text{и} \quad \eta \equiv (z_1 -z_2)/2 \;.$

Тогда

Формулы для косинусов и синусов:
$\cos z_1 +\cos z_2 = 2 \,\cos \xi \cdot \cos \eta \;,$

$\cos z_1 -\cos z_2 = -2 \,\sin \xi \cdot \sin \eta \;,$

$\sin z_1 +\sin z_2 = 2 \,\sin \xi \cdot \cos \eta \;,$

$\sin z_1 -\sin z_2 = 2 \,\cos \xi \cdot \sin \eta \;.$

Формулы для линейной комбинации косинуса и синуса: если $u(z) =\alpha \,\cos z +\beta \,\sin z$, где $\alpha$, $\beta =\text{const}$, и $u'(z) =(d/d z) \,u(z)$, то

$u(z_1) +u(z_2) = 2 \,u(\xi)\cdot \cos \eta \;,$

$u(z_1) -u(z_2) = 2 \,u'(\xi)\cdot \sin \eta \;.$

Формулы для тангенсов:
$\tan z_1 +\tan z_2 = \frac{ \sin(z_1 +z_2) }{ \cos z_1 \cdot \cos z_2 } \;,$

$\tan z_1 +1/\tan z_2 = \frac{ \cos(z_1 -z_2) }{ \cos z_1 \cdot \sin z_2 } \;,$

$1/\tan z_1 +1/\tan z_2 = \frac{ \sin(z_1 +z_2) }{ \sin z_1 \cdot \sin z_2 } \;.$

Выражение произведений тригонометрических функций через суммы некоторых других тригонометрических функций

Произведения двух функций:
$2 \,\cos z_1 \,\cos z_2 =\cos(z_1 +z_2) +\cos(z_1 -z_2) \;,$

$2 \,\sin z_1 \,\sin z_2 =\cos(z_1 -z_2) -\cos(z_1 +z_2) \;,$

$2 \,\cos z_1 \,\sin z_2 =\sin(z_1 +z_2) -\sin(z_1 -z_2) \;.$

Данные формулы удобно использовать, в частности, при интегрировании.

Произведения трех функций:
$4 \,\cos z_1 \,\cos z_2 \,\cos z_3 =\cos(z_1 +z_2 +z_3) +\cos(z_1 +z_2 -z_3)$

$+\cos(z_2 +z_3 -z_1) +\cos(z_3 +z_1 -z_2) \;,$

$4 \,\cos z_1 \,\cos z_2 \,\sin z_3 =\sin(z_1 +z_2 +z_3) -\sin(z_1 +z_2 -z_3)$

$+\sin(z_2 +z_3 -z_1) +\sin(z_3 +z_1 -z_2) \;,$

$4 \,\cos z_1 \,\sin z_2 \,\sin z_3 =-\cos(z_1 +z_2 +z_3) +\cos(z_1 +z_2 -z_3)$

$-\cos(z_2 +z_3 -z_1) +\cos(z_3 +z_1 -z_2) \;,$

$4 \,\sin z_1 \cdot \sin z_2 \cdot \sin z_3 =-\sin(z_1 +z_2 +z_3) +\sin(z_1 +z_2 -z_3)$

$+\sin(z_2 +z_3 -z_1) +\sin(z_3 +z_1 -z_2) \;.$

Дополнительные соотношения:
$\cos(z_1 +z_2)\cdot \cos(z_1 -z_2) =(\cos z_2)^2 -(\sin z_1)^2 \;,$

$\sin(z_1 +z_2)\cdot \sin(z_1 -z_2) =(\cos z_2)^2 -(\cos z_1)^2 \;.$

Неравенства

$\sin x \le x \le \tan x \qquad (0 \le x \le 2\pi/4) \;,$

$\cos x \le x^{-1}\cdot \sin x \le 1 \qquad (0 \le x \le \pi) \;,$

$x^{-1}\cdot \sin\bigl(x\cdot \pi/2\bigr) > 1 \qquad (-1 \le x \le 1 ) \;,$

$\pi < x^{-1}(1-x)^{-1}\cdot \sin(\pi \,x) \le 4 \qquad (0 \le x \le 1) \;,$

$1-\cos x < x^2/2 < 1/\cos x -1 \qquad (|x|< \pi/2 \;,\; x\ne 0) \;,$

$|\sinh(\text{Im}\, z)| \le |\cos z| \le |\cosh(\text{Im}\, z)| \;,$

$|\sinh(\text{Im}\, z)| \le |\sin z| \le |\cosh(\text{Im}\, z)| \;.$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Функциональные соотношения для тригонометрических функций»