Функциональные соотношения для гиперболических функций

Формулы для гиперолических функций могут быть получены из соответствующих формул для тригонометрических функций, если в последних заменить $\cos z$ на $\cosh \tilde{z}$, $\sin z$ на $i\,\sinh \tilde{z}$, $\tan z$ на $i\,\tanh \tilde{z}$, где $z =i \,\tilde{z}$.

Соотношения между гиперболическими функциями с одинаковыми значениями аргумента

$\tanh z =\sinh z /\cosh z \;, \qquad (\cosh z)^2 -(\sinh z)^2 =1 \;,$
$1 -(\tanh z)^2 =(\cosh z)^{-2} \;, \qquad 1 -(\tanh z)^{-2} =(\sinh z)^{-2} \;.$
Формулы b), c) и d) позволяют выразить через любую из трех функций $\cosh x$, $\sinh x$, $\tanh x$ две другие данные функции с точностью до знака.

С помощью формул b), c) и d) можно получить:
$\cosh z =\pm \sqrt{1 +(\sinh z)^2} =\pm \frac{1}{ \sqrt{1 -(\tanh z)^2} } =\pm \frac{1/\tanh z}{ \sqrt{(1/\tanh z)^2 -1} } \;,$
$\sinh z =\pm \sqrt{(\cosh z)^2 -1} =\pm \frac{\tanh z}{ \sqrt{1 -(\tanh z)^2} } =\pm \frac{1}{ \sqrt{(1/\tanh z)^2 -1} } \;,$
$\tanh z =\pm \frac{ \sqrt{(\cosh z)^2 -1} }{\cosh z} =\pm \frac{\sinh z}{ \sqrt{1 +(\sinh z)^2} } \;.$

Формулы сложения для гиперболических функций

$\cosh(z_1 +z_2) =\cosh z_1 \cdot \cosh z_2 +\sinh z_1 \cdot \sinh z_2 \;,$
$\cosh(z_1 -z_2) =\cosh z_1 \cdot \cosh z_2 -\sinh z_1 \cdot \sinh z_2 \;,$
$\sinh(z_1 +z_2) =\sinh z_1 \cdot \cosh z_2 +\cosh z_1 \cdot \sinh z_2 \;,$
$\sinh(z_1 -z_2) =\sinh z_1 \cdot \cosh z_2 -\cosh z_1 \cdot \sinh z_2 \;,$
$\tanh(z_1 +z_2) =\frac{ \tanh z_1 +\tanh z_2 }{ 1+ \tanh z_1 \cdot \tanh z_2 } \;,$
$\tanh(z_1 -z_2) =\frac{\tanh z_1 -\tanh(z_2) }{ 1- \tanh z_1 \cdot \tanh z_2 } \;.$

Если $u(z) =\alpha \,\cosh z +\beta \,\sinh z$, где $\alpha$, $\beta =\text{const}$, и $u'(z) =(d/d z) \,u(z)$, то
$u(z_1 +z_2) = u(z_1)\cdot \cosh z_2 +u'(z_1)\cdot \sinh z_2 \;,$
$u(z_1 -z_2) = u(z_1)\cdot \cosh z_2 -u'(z_1)\cdot \sinh z_2 \; \;.$

Дополнительные формулы сложения для гиперболического тангенса:
$\tanh(z_1 +z_2) =\frac{\sinh(2 \,z_1) +\sinh(2 \,z_2)}{\cosh(2 \,z_1) +\cosh(2 \,z_2)} \;,$
$\tanh(z_1 +z_2) =\frac{\cosh(2 \,z_1) -\cosh(2 \,z_2)}{\sinh(2 \,z_1) -\sinh(2 \,z_2)} \;.$
Данные формулы можно использовать при определении действительной и мнимой частей функций $\tanh z$ и $1/\tanh z$ комплексного аргумента.

Гиперболические функции двойного и половинного аргумента

$\cosh(2 z) =(\cosh z)^2 +(\sinh z)^2 =\frac{1 +(\tanh z)^2}{1 -(\tanh z)^2} \;,$
$\sinh(2 z) =2 \,\sinh z \,\cosh z =\frac{2 \,\tanh z}{1 -(\tanh z)^2} \;,$
$\tanh(2 z) =\frac{2 \,\tanh z}{1 +(\tanh z)^2} \;,$
$2 \,\bigl(\cosh(z/2)\bigr)^2 =\cosh z +1 \;,$
$2 \,\bigl(\sinh(z/2)\bigr)^2 =\cosh z -1 \;,$
$\tanh(z/2) =\frac{\sinh z}{\cosh z +1} =\frac{\cosh z -1}{\sinh z} \;.$

Если $f(z)$ – рациональная или дробно-рациональная функция от $\cosh z$ и $\sinh z$, то с помощью формул a) и b) ее можно представить в виде дробно-рациональной функции одной переменной $\xi=\tanh(z/2)$. Поэтому при решении уравнения $f(z)=0$ часто оказывается целесообразной замена независимой переменной по формуле $\xi=\tanh(z/2)$. Аналогичная замена переменной может применяться при интегрировании функции $f(z)$.

Формулы для кратных значений аргумента

Пусть $m$ – целое положительное число.
$\cosh(m z) =T_m (\cosh z) \;,\qquad \sinh(m z) =\frac{1}{m} \,\sinh z \cdot T'_m (\cosh z) \;,$
где $T_m(\xi)$ и $T'_m(\xi)$ – полиномы Чебышева и их производные.
$\cosh(m \,z) = \sum_{k=0}^{m/2} C_m^{2 k}\cdot \bigl(\cosh z\bigr)^{m -2 k}\cdot \bigl(\sinh z\bigr)^{2 k}$
$= (\cosh z)^m +C_m^2 \cdot (\cosh z)^{m-2}\cdot (\sinh z)^2$
$+C_m^4 \cdot (\cosh z)^{m-4}\cdot (\sinh z)^4 +... \;;$
$\sinh(m \,z) = \sum_{k=0}^{(m-1)/2} C_m^{2 k +1}\cdot (\cosh z)^{m -2 k -1}\cdot (\sinh z)^{2 k +1}$
$= C_m^1 \cdot (\cosh z)^{m-1}\cdot \sinh z +C_m^3 \cdot (\cosh z)^{m-3}\cdot (\sinh z)^3$
$+C_m^5 \cdot (\cosh z)^{m-5}\cdot (\sinh z)^5 +... \;;$
$\tanh(m \,z) = \frac{ \sum_k C_m^{2 k +1}\cdot (\tanh z)^{2 k +1} }{ \sum_k C_m^{2 k}\cdot (\tanh z)^{2 k} }$
$= \frac{ C_m^1 \cdot \tanh z +C_m^3 \cdot (\tanh z)^3 +C_m^5 \cdot (\tanh z)^5 +... } { 1 +C_m^2 \cdot (\tanh z)^2 +C_m^4 \cdot (\tanh z)^4 +... } \;.$

Степени гиперболических функций

a) Если $m$ – нечетное положительное число, то
$(\cosh z)^m = (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-1)/2} C_m^k \cdot \cosh\bigl((m -2 k) \,z\bigr) \;,$
$(\sinh z)^m = (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-1)/2} (-1)^k \,C_m^k \cdot \sinh\bigl((m -2 k) \,z\bigr) \;.$

b) Если $m$ – четное неотрицательное число, то
$(\cosh z)^m = (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-2)/2} C_m^k \cdot \cosh\bigl((m -2 k) \,z\bigr) +(1/2)^m \cdot C_m^{m/2} \;,$
$(\sinh z)^m = (1/2)^{m-1} \,\sum_{k=0}^{(m-2)/2} (-1)^k \,C_m^k \cdot \cosh\bigl((m -2 k) \,z\bigr)$
$+(-1)^{m/2}\cdot (1/2)^m \cdot C_m^{m/2} \;.$

Выражение сумм гиперболических функций через произведения некоторых других гиперболических функций

Обозначим
$\xi \equiv (z_1 +z_2)/2 \quad\text{и} \quad \eta \equiv (z_1 -z_2)/2 \;.$
Тогда

Формулы для гиперболических косинусов и гиперболических синусов:
$\cosh z_1 +\cosh z_2 = 2 \,\cosh \xi \cdot \cosh \eta \;,$
$\cosh z_1 -\cosh z_2 = 2 \,\sinh \xi \cdot \sinh \eta \;,$
$\sinh z_1 +\sinh z_2 = 2 \,\sinh \xi \cdot \cosh \eta \;,$
$\sinh z_1 -\sinh z_2 = 2 \,\cosh \xi \cdot \sinh \eta \;.$

Формулы для линейной комбинации гиперболического косинуса и гиперболического синуса: если $u(z) =\alpha \,\cosh z +\beta \,\sinh z$, где $\alpha$, $\beta =\text{const}$, и $u'(z) =(d/d z) \,u(z)$, то
$u(z_1) +u(z_2) = 2 \,u(\xi)\cdot \cosh \eta \;,$
$u(z_1) -u(z_2) = 2 \,u'(\xi)\cdot \sinh \eta \;.$

Формулы для гиперболических тангенсов:
$\tanh z_1 +\tanh z_2 = \frac{ \sinh(z_1 +z_2) }{ \cosh z_1 \cdot \cosh z_2 } \;,$
$\tanh z_1 +1/\tanh z_2 = \frac{ \cosh(z_1 +z_2) }{ \cosh z_1 \cdot \sinh z_2 } \;,$
$1/\tanh z_1 +1/\tanh z_2 = \frac{ \sinh(z_1 +z_2) }{ \sinh z_1 \cdot \sinh z_2 } \;.$

Выражение произведений гиперболических функций через суммы некоторых других гиперболических функций

$2 \,\cosh z_1 \cdot \cosh z_2 =\cosh(z_1 +z_2) +\cosh(z_1 -z_2) \;,$
$2 \,\sinh z_1 \cdot \sinh z_2 =\cosh(z_1 +z_2) -\cosh(z_1 -z_2) \;,$
$2 \,\cosh z_1 \cdot \sinh z_2 =\sinh(z_1 +z_2) -\sinh(z_1 -z_2) \;.$

Данные формулы удобно использовать, в частности, при интегрировании.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!