Решение трансцендентных уравнений, содержащих тригонометрические функции

Решение трансцендентных уравнений, содержащих тангенс

Корнями уравнения $\tan z =\tau$ ($\tau =\text{const}$) являются элементы последовательности
$z_k =\arctan \tau +\pi \,k \qquad (k=0,\, \pm 1,\, \pm 2,...) \;.$

Нулями функции $\tan z$ (которые совпадают с полюсами функции $1/\tan z$) являются элементы последовательности
$z_k =\pi \,k \qquad (k=0,\, \pm 1,\, \pm 2,...) \;.$

Нулями функции $1/\tan z$ (которые совпадают с полюсами функции $\tan z$) являются элементы последовательности
$z_k =\pi \,(k +1/2) \qquad (k=0,\, \pm 1,\, \pm 2,...) \;.$

Все нули функций $\Phi(z) =\tan z -\tau$ и $\Psi(z) =1/\tan z -\tau$ являются простыми.

Решение трансцендентных уравнений, содержащих косинус

Корнями уравнения $\cos z =\tau$ ($\tau =\text{const}$) являются элементы двух последовательностей
$z'_k = z_0 +2\pi \,k \quad \text{и} \quad z''_k = -z_0 +2\pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...),$
где $z_0 =\arccos \tau$.

Иначе говоря, корнями данного уравнения являются числа
$z_k =\pm \arccos \tau +2\pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Нулями функции $\cos z$ являются элементы последовательности
$z_k =\pi \,(k +1/2) \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Корнями уравнения $\cos z =1$ являются элементы последовательности
$z_k =2\pi \,k \qquad (k =0, \pm 1, \pm 2,...) \;.$

Корнями уравнения $\cos z =-1$ являются элементы последовательности
$z_k =2\pi \,(k +1/2) \qquad (k =0, \pm 1, \pm 2,...) \;.$

Решение трансцендентных уравнений, содержащих синус

Корнями уравнения $\sin z =\tau$ ($\tau =\text{const}$) являются элементы двух последовательностей
$z'_k = z_0 +2\pi \,k \quad \text{и} \quad z''_k = -z_0 +2\pi \,(k +1/2) \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...),$
где $z_0 =\arcsin \tau$.

Иначе говоря, корнями данного уравнения являются числа
$z_k =(-1)^k \,\arcsin \tau +\pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Нулями функции $\sin z$ являются элементы последовательности
$z_k =\pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Корнями уравнения $\sin z =1$ являются элементы последовательности
$z_k =2\pi \,(k +1/4) \qquad (k =0, \pm 1, \pm 2,...) \;.$

Корнями уравнения $\sin z =-1$ являются элементы последовательности
$z_k =2\pi \,(k -1/4) \qquad (k =0, \pm 1, \pm 2,...) \;.$

Решение трансцендентных уравнений, содержащих косинус и синус

Рассмотрим уравнение $F(z) =\tau$ относительно переменной $z$, где
$F(z) =\alpha \,\cos z +\beta \,\sin z$
($\alpha$, $\beta$, $\tau =\text{const}$). Левая часть данного уравнения может быть также представлена в виде
$F(z) =\gamma_1 \,e^{i z} +\gamma_2 \,e^{-i z} \;,$
где
$\gamma_1 =\frac{1}{2} \,(\alpha -i \,\beta) \;,\qquad \gamma_2 =\frac{1}{2} \,(\alpha +i \,\beta) \;.$

Множество значений функции $F(z)$ охватывает всю открытую комплексную плоскость.

Уравнение $F(z)=\tau$ можно решать следующими способами:

• замена неизвестной по формуле $e^{i z}=\xi$ (при этом $F(z)=\gamma_1 \xi +\gamma_2/\xi$) приводит к квадратному уравнению относительно $\xi$;
• замена неизвестной по формуле $\tan(z/2)=\eta$, при этом
  $F(z) =\alpha \cdot (1 -\eta^2)/(1 +\eta^2) +\beta \cdot 2\eta/(1 +\eta^2) \;,$
  приводит к квадратному уравнению относительно $\eta$.

Нулями функции $\Phi(z) =F(z) -\tau$ являются элементы двух последовательностей
$z'_k = -i\cdot \ln \xi' +2\pi k = 2\cdot \arctan \eta' +2\pi k \;,$
$z''_k = -i\cdot \ln \xi''+2\pi k = 2\cdot \arctan \eta''+2\pi k$
$(k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...)$, где $\xi'$, $\eta'$, $\xi''$, $\eta''$ – числа, связанные между собой соотношениями
$\xi' = \frac{ 1+i\,\eta' }{ 1-i\,\eta' } \;,\quad \eta' = i\cdot \frac{ 1-\xi' }{ 1+\xi' } \;,$
$\xi'' = \frac{ 1+i\,\eta'' }{ 1-i\,\eta''} \;,\quad \eta''= i\cdot \frac{ 1-\xi''}{ 1+\xi'' } \;.$
При этом

$\xi'$ и $\xi''$ являются корнями квадратного уравнения
$\gamma_1\cdot \xi^2 - \tau\cdot \xi + \gamma_2 = 0 \;;$

если ($\tau +\alpha)\ne 0$, то $\eta'$ и $\eta''$ являются корнями квадратного уравнения
$(\tau +\alpha)\cdot \eta^2 -2 \beta \cdot \eta +(\tau -\alpha) =0 \;;$

если ($\tau -\alpha)\ne 0$, то $1/\eta'$ и $1/\eta''$ являются корнями квадратного уравнения, кооторое получается из предыдущего приведенного здесь уравнения с помощью элементарных преобразований.

Каждый нуль функции $\Phi(z)$ является простым.

Корнями уравнения
$\alpha \,\cos z +\beta \,\sin z =\alpha$
являются элементы двух последовательностей
$z'_k =2 \,\arctan(\beta/\alpha) +2\pi \,k \;,\quad z''_k =2\pi \,k \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Корнями уравнения
$\alpha \,\cos z +\beta \,\sin z =-\alpha$
являются элементы двух последовательностей
$z'_k =-2 \,\arctan(\alpha/\beta) +2\pi \,k \;, \quad z''_k =2\pi \,(k +1/2) \qquad (k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,...) \;.$

Уравнение $F(z)=\alpha$ можно также решать следующим образом: данное уравнение преобразуется к виду
$\sin z \cdot \bigl(\alpha \,\tan(z/2) -\beta\bigr) =0 \;;$
при этом должно быть $\cos(z/2)\ne 0$.

Аналогично уравнение $F(z)=-\alpha$ преобразуется к виду
$\sin z \cdot \bigl(\alpha /\tan(z/2) +\beta\bigr) =0 \;;$
при этом должно быть $\sin(z/2)\ne 0$.
Отметим также, что уравнение $F(z)=-\alpha$ равносильно уравнению $F(\widetilde{z})=\alpha$ относительно переменной $\widetilde{z} =z \pm \pi$.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Решение трансцендентных уравнений»