В настоящей статье обратные тригонометрические функции рассматриваются как функции действительных переменных. Определения рассматриваемых функций см. в статье «Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции».
Арктангенс действительного аргумента
Функция y=arctanx принимает действительные значения для действительных значений аргумента; при −∞<x<+∞ данная функция непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является открытый интервал (−2π/4,2π/4), т.е.
x→−∞lim arctanx=−2π/4,x→−∞lim arctanx=2π/4.
График функции y=arctanx (см.рис.1) центрально симметричен относительно начала координат; точка [0,0] является точкой перегиба; угол наклона касательной в этой точке равен 2π/8. Данный график имеет две асимптоты – y=2π/4 и y=−2π/4. Он симметричен относительно прямой y=x ветви графика функции y=tanx, проходящей через начало координат.
Рис. 1. График функции y=arctanx.
Рис. 2. Графики функций y=arcsinx (сплошная кривая) и y=arccosx (кривая из точек).
Арксинус и арккосинус действительного аргумента
Если −1≤x≤1, то функции arcsinx и arccosx действительны; для данных значений аргумента функция arcsinx непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является интервал [−2π/4,2π/4]; функция arccosx является строго убывающей, и множеством ее значений является интервал [0,π].
На рис. 2 представлены графики рассматриваемых функций.
График функции arcsinx центрально-симметричен относительно начала координат. График функции arccosx центрально-симметричен относительно точки [0,2π/4].
Различные представления аргумента комплексного числа
Если z=x+iy, то для определения аргумента числа z удобнее всего использовать функцию arctan.
Имеют место формулы:
a)argz=arctan(y/x)+πϑ(−x)⋅signy(xy =0);
b)argz=−arctan(x/y)+42π signy(y =0);
c)argz=2arctan(y/(∣z∣+x))(z =−∣z∣);
d)argz=−2arctan(y/(∣z∣−x))+πsigny(y =0,z =∣z∣);
e)argz=2arctan((∣z∣−x)/y)(y =0);
f)argz=−2arctan((∣z∣+x)/y)+πsigny(y =0).
Здесь ϑ(x) – ступенчатая функция Хевисайда.
Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!
Комментарии