Обратные тригонометрические функции действительных переменных

Содержание

  1. 1. Арктангенс действительного аргумента
  2. 2. Арксинус и арккосинус действительного аргумента
  3. 3. Различные представления аргумента комплексного числа

В настоящей статье обратные тригонометрические функции рассматриваются как функции действительных переменных. Определения рассматриваемых функций см. в статье «Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции».

Арктангенс действительного аргумента

Функция y=arctanxy=\arctan x принимает действительные значения для действительных значений аргумента; при <x<+-\infty <x< +\infty данная функция непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является открытый интервал (2π/4, 2π/4)(-2\pi/4,\, 2\pi/4), т.е.

limxarctanx=2π/4 ,limxarctanx=2π/4 .\lim_{x\to -\infty} \arctan x =-2\pi/4 \;,\qquad \lim_{x\to -\infty} \arctan x = 2\pi/4 \;.

График функции y=arctanxy=\arctan x (см.рис.1) центрально симметричен относительно начала координат; точка [0,0][0,0] является точкой перегиба; угол наклона касательной в этой точке равен 2π/82\pi/8. Данный график имеет две асимптоты – y=2π/4y=2\pi/4 и y=2π/4y=-2\pi/4. Он симметричен относительно прямой y=xy=x ветви графика функции y=tanxy=\tan x, проходящей через начало координат.

1farctan_arcsin.png

Рис. 1. График функции y=arctanxy=\arctan x.

Рис. 2. Графики функций y=arcsinxy=\arcsin x (сплошная кривая) и y=arccosxy=\arccos x (кривая из точек).

Арксинус и арккосинус действительного аргумента

Если 1x1-1 \le x \le 1, то функции arcsinx\arcsin x и arccosx\arccos x действительны; для данных значений аргумента функция arcsinx\arcsin x непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является интервал [2π/4,2π/4][-2\pi/4, 2\pi/4]; функция arccosx\arccos x является строго убывающей, и множеством ее значений является интервал [0,π][0, \pi].

На рис. 2 представлены графики рассматриваемых функций.

График функции arcsinx\arcsin x центрально-симметричен относительно начала координат. График функции arccosx\arccos x центрально-симметричен относительно точки [0,2π/4][0, 2\pi/4].

Различные представления аргумента комплексного числа

Если z=x+i yz =x +i \,y, то для определения аргумента числа zz удобнее всего использовать функцию arctan\arctan.

Имеют место формулы:

a)argz=arctan(y/x)+π ϑ(x)sign y(x y0) ;{a)} \arg z = \arctan(y/x) +\pi \,\vartheta(-x)\cdot \mathrm{sign}\, y \qquad (x \,y \ne 0) \;;

b)argz=arctan(x/y)+2π4 sign y(y0) ;{b)} \arg z = -\arctan(x/y)+ \frac{2\pi}{4} \,\mathrm{sign}\, y \qquad (y \ne 0) \;;

c)argz=2 arctan(y/(z+x))(zz);{c)} \arg z = 2 \,\arctan\bigl(y/(|z|+x)\bigr) \qquad (z \ne -|z|);

d)argz=2 arctan(y/(zx))+π sign y(y0 , zz) ;{d)} \arg z = -2 \,\arctan\bigl(y/(|z|-x)\bigr) +\pi \,\mathrm{sign} \,y \qquad (y \ne 0 \;,\; z\ne |z|) \;;

e)argz=2 arctan((zx)/y)(y0) ;{e)} \arg z = 2 \,\arctan\bigl((|z| -x) /y\bigr) \qquad (y \ne 0) \;;

f)argz=2 arctan((z+x)/y)+π sign y(y0).{f)} \arg z = -2 \,\arctan\bigl((|z|+x)/y\bigr) +\pi \,\mathrm{sign}\, y \qquad (y \ne 0).

Здесь ϑ(x)\vartheta(x) – ступенчатая функция Хевисайда.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир