Функциональные уравнения для обратных гиперболических функций

В настоящей статье приведены важнейшие функциональные уравнения для функций $\mathrm{arctanh}\, z$, $\mathrm{arcsinh}\, z$ и $\mathrm{arccosh}\, z$.

Связь между обратными гиперболическими функциями

$\mathrm{arctanh}\, z =\mathrm{arcsinh}\, \frac{z}{\sqrt{1 -z^2}} \qquad (z \not\in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \;,$

$\mathrm{arctanh}\, z =J \,\mathrm{arccosh}\, \frac{1}{\sqrt{1 -z^2}} \qquad (z \not\in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z =\mathrm{arctanh}\, \frac{z}{\sqrt{z^2 +1}} \qquad (-i \,z \not\in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z =J \,\mathrm{arccosh}\, \sqrt{z^2 +1} \;,$

$\mathrm{arccosh}\, z =J \,\mathrm{arctanh}\, \frac{\sqrt{z^2 -1}}{z} +i \,\frac{2\pi}{4} \,(1 -J') \,\mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z) \qquad (z \not\in (-\infty,0)) \;,$

$\mathrm{arccosh}\, z =\mathrm{arcsinh}\, \sqrt{z^2 -1} +i \,\frac{2\pi}{4} \,(1 -J) \,\mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z) \qquad (z \not\in (-\infty,0)) \;.$

Дополнительные соотношения:

$\mathrm{arccosh}\, \frac{1 +z^2}{1 -z^2} =2 \,J \,\mathrm{arctanh}\, z \qquad (z \not\in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \;,$

$\mathrm{arccosh}\, (1 +2 \,z^2) =2 \,J \,\mathrm{arcsinh}\, z \;,$

$\mathrm{arccosh}\, (2 \,z^2 -1) =2 \,\mathrm{arccosh}\, z \qquad (-2\pi/4 < \arg z \le 2\pi/4) \;.$

Здесь

$J = \begin{cases} \;1 & \ {при } -2\pi/4 < \arg z \le 2\pi/4 \;,\\ -1 & \ {при } -2\pi/4 < \arg(-z) \le 2\pi/4 \end{cases}$

$= \begin{cases} \mathrm{sign}\, \mathrm{Re}\, z & \ {при } \mathrm{Re}\, z \ne 0 \;,\\ \mathrm{sign}\, \mathrm{Im}\, z & \ {при } \mathrm{Re}\, z =0 \;; \end{cases}$

$J' = \begin{cases} \;1 & \ {при } -2\pi/4 \le \arg z < 2\pi/4 \;,\\ -1 & \ {при } -2\pi/4 \le \arg(-z) < 2\pi/4 \;. \end{cases}$

Связь между гиперболическими и обратными гиперболическими функциями

$\tanh (\mathrm{arctanh}\, z) =z \;,\quad \sinh (\mathrm{arcsinh}\, z) =z \;,\quad \cosh (\mathrm{arccosh}\, z) =z \;;$

$\cosh (\mathrm{arcsinh}\, z) =\sqrt{z^2 +1} \;,$

$\sinh (\mathrm{arccosh}\, z) =\sqrt{z-1} \,\sqrt{z+1} =J \,\sqrt{z^2 -1} \;;$

$\mathrm{arctanh}\, (\tanh z) =z \qquad (z \in W_t) \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, (\sinh z) =z \qquad (z \in W_s) \;,$

$\mathrm{arccosh}\, (\cosh z) =z \qquad (z \in W_c) \;.$

Здесь $W_t$, $W_s$ и $W_c$ – множества значений функций $\mathrm{arctanh}\, z$,
$\mathrm{arcsinh}\, z$ и $\mathrm{arccosh}\, z$ соответственно.

Сумма гиперболических арктангенсов

$\mathrm{arctanh}\, z_1 +\mathrm{arctanh}\, z_2 =\mathrm{arctanh}\,\left(\frac{z_1 +z_2}{1 +z_1 \,z_2}\right) +i \,\pi \,m \;,$

$\mathrm{arctanh}\, z_1 -\mathrm{arctanh}\, z_2 =\mathrm{arctanh}\,\left(\frac{z_1 -z_2}{1 -z_1 \,z_2}\right) +i \,\pi \,m' \;,$

где $m$ и $m'$ – целые числа, определяемые условиями

$m-1/2 < \frac{1}{\pi}\, \mathrm{Im}\,(\mathrm{arctanh}\, z_1 +\mathrm{arctanh}\, z_2) < m+1/2 \;,$

$m'-1/2 < \frac{1}{\pi}\, \mathrm{Im}\,(\mathrm{arctanh}\, z_1 -\mathrm{arctanh}\, z_2) < m'+1/2 \;.$

В частности,

если число $z_1$ – действительно и $-1< z_1 <1$, то $m=m'=0$;

если $\mathrm{Im}\, z \ne 0$, то

$\mathrm{arctanh}\, z -\mathrm{arctanh}\,(1/z) = i\cdot(2\pi/4)\cdot \mathrm{sign}\, (\mathrm{Im}\, z) \;.$

Суммы других обратных гиперболических функций

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 + \mathrm{arcsinh}\, z_2 = (-1)^{m_1} \,\mathrm{arcsinh}\,(z_1 \,\xi_2 + z_2 \,\xi_1) +i \,\pi \,m_1 \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 + \mathrm{arcsinh}\, z_2 = J_2 \,\mathrm{arccosh}\,(\xi_1 \,\xi_2 + z_1 \,z_2) +i \,2\pi \,m_2 \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 - \mathrm{arcsinh}\, z_2 = (-1)^{m_3} \,\mathrm{arcsinh}\,(z_1 \,\xi_2 - z_2 \,\xi_1) +i \,\pi \,m_3 \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 - \mathrm{arcsinh}\, z_2 = J_4 \,\mathrm{arccosh}\,(\xi_1 \,\xi_2 - z_1 \,z_2) +i \,2\pi \,m_4 \;,$

$\mathrm{arccosh}\, z_1 + \mathrm{arccosh}\, z_2 = J_5 \,\mathrm{arccosh}\,(z_1 \,z_2 + \eta_1 \,\eta_2) +i \,2\pi \,m_5 \;,$

$\mathrm{arccosh}\, z_1 + \mathrm{arccosh}\, z_2 = (-1)^{m_6} \,\mathrm{arcsinh}\,(z_2 \,\eta_1 + z_1 \,\eta_2) +i \,\pi \,m_6 \;,$

$\mathrm{arccosh}\, z_1 - \mathrm{arccosh}\, z_2 = J_7 \,\mathrm{arccosh}\,(z_1 \,z_2 - \eta_1 \,\eta_2) +i \,2\pi \,m_7 \;,$

$\mathrm{arccosh}\, z_1 - \mathrm{arccosh}\, z_2 = (-1)^{m_8} \,\mathrm{arcsinh}\,(z_2 \,\eta_1 - z_1 \,\eta_2) +i \,\pi \,m_8 \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 + \mathrm{arccosh}\, z_2 = (-1)^{m_9} \,\mathrm{arcsinh}\,(z_1 \,z_2 + \xi_1 \,\eta_2) +i \,\pi \,m_9 \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 + \mathrm{arccosh}\, z_2 = J_{10} \,\mathrm{arccosh}\,(z_2 \,\xi_1 + z_1 \,\eta_2) +i \,2\pi \,m_{10} \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 - \mathrm{arccosh}\, z_2 = (-1)^{m_{11}} \,\mathrm{arcsinh}\,(z_1 \,z_2 - \xi_1 \,\eta_2) +i \,\pi \,m_{11} \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z_1 - \mathrm{arccosh}\, z_2 = J_{12} \,\mathrm{arccosh}\,(z_2 \,\xi_1 - z_1 \,\eta_2) +i \,2\pi \,m_{12} \;,$

где

$\xi_1 =\sqrt{z_1^2 +1} \;,\qquad \xi_2 =\sqrt{z_2^2 +1} \;,$

$\eta_1 =\sqrt{z_1^2 -1} \;,\qquad \eta_2 =\sqrt{z_2^2 -1} \;;$

$J_k$ и $m_k$ – некоторые целые числа; $J_k =\pm 1$;
в каждом уравнении числа $J_k$ и $m_k$ определяются такм образом, чтобы значение функции $\mathrm{arcsinh}\,$ или $\mathrm{arccosh}\,$ в правой части уравнения принадлежало множеству значений этой функции.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!