Функциональные уравнения для обратных тригонометрических функций

В настоящей статье приведены важнейшие функциональные уравнения для функций $\arctan z$, $\arcsin z$ и $\arccos z$.

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Связь между различными функциями:

$\arctan z =\arcsin \frac{z}{\sqrt{1 +z^2}} \qquad (-i \,z \not\in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \;,$

$\arctan z =J \,\arccos \frac{1}{\sqrt{1 +z^2}} \qquad (-i \,z \not\in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)) \;,$

$\arcsin z =\arctan \frac{z}{\sqrt{1 -z^2}} \qquad (z \not\in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)) \;,$

$\arcsin z =J \,\arccos \sqrt{1 -z^2} \;,$

$\arccos z =\arctan \frac{\sqrt{1 -z^2}}{z} +\frac{2\pi}{4} \,(1 -J') \qquad (z \not\in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)) \;,$

$\arccos z =J \,\arcsin \sqrt{1 -z^2} +\frac{2\pi}{4} \,(1-J) \;.$

Дополнительные соотношения:

$\arccos \frac{1 -z^2}{1 +z^2} =2 \,J \,\arctan z \qquad (-i \,z \not\in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)) \;,$

$\arccos(1 -2 \,z^2) =2 \,J \,\arcsin z \;,$

$\arccos(2 \,z^2 -1) =2 \,J \,\arccos z +\pi \,(1-J) \;.$

Здесь

$J = \begin{cases} \;1 & {при } -2\pi/4 < \arg z \le 2\pi/4 \;,\\ -1 & {при } -2\pi/4 < \arg(-z) \le 2\pi/4 \end{cases}$

$= \begin{cases} \mathrm{sign}\, \mathrm{Re}\, z & {при }\ \mathrm{Re}\, z \ne 0 \;,\\ \mathrm{sign}\, \mathrm{Im}\, z & {при } \ \mathrm{Re}\, z =0 \;; \end{cases}$

$J' = \begin{cases} \;1 & \ {при } -2\pi/4 \le \arg z < 2\pi/4 \;,\\ -1 & \ {при } -2\pi/4 \le \arg(-z) < 2\pi/4 \;. \end{cases}$

Связь между тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями

$\tan (\arctan z) =z \;,\quad \sin (\arcsin z) =z \;,\quad \cos (\arccos z) =z \;;$

$\cos (\arcsin z) =\sqrt{1 -z^2} \;, \qquad \sin (\arccos z) =\sqrt{1 -z^2} \;;$

$\arctan (\tan z) =z \qquad (z \in W_t) \;,$

$\arcsin (\sin z) =z \qquad (z \in W_s) \;,$

$\arccos (\cos z) =z \qquad (z \in W_c) \;.$

Здесь $W_t$, $W_s$ и $W_c$ – множества значений функций $\arctan z$,
$\arcsin z$ и $\arccos z$ соответственно.

Сумма арктангенсов

$\arctan z_1 +\arctan z_2 =\arctan\left(\frac{z_1 +z_2}{1 -z_1 \,z_2}\right) +\pi \,m \;,$

$\arctan z_1 -\arctan z_2 =\arctan\left(\frac{z_1 -z_2}{1 +z_1 \,z_2}\right) +\pi \,m' \;,$

где $m$ и $m'$ – целые числа, определяемые условиями

$m -1/2 < \frac{1}{\pi} \,\mathrm{Re}\,(\arctan z_1 +\arctan z_2) < m +1/2 \;,$

$m' -1/2 < \frac{1}{\pi} \,\mathrm{Re}\,(\arctan z_1 -\arctan z_2) < m' +1/2 \;.$

В частности,

если числа $z_1$ и $z_2$ – действительны, то

$m= \begin{cases} 0 & \ {при } z_1 \,z_2 < 1 \;,\\ \mathrm{sign}\, z_1 & \ {при } z_1 \,z_2 > 1 \;, \end{cases} \quad m'= \begin{cases} 0 & \ {при } z_1 \,z_2 > -1 \;,\\ \mathrm{sign}\, z_1 & \ {при } z_1 \,z_2 < -1 \;; \end{cases}$

если $\mathrm{Re}\, z \ne 0$, то

$\arctan z +\arctan(1/z) = (2\pi/4)\cdot \mathrm{sign}\, (\mathrm{Re}\, z) \;.$

Суммы других обратных тригонометрических функций

$\arcsin z_1 + \arcsin z_2 = (-1)^{m_1} \,\arcsin(z_1 \,\xi_2 + z_2 \,\xi_1) +\pi \,m_1 \;,$

$\arcsin z_1 + \arcsin z_2 = J_2 \,\arccos(\xi_1 \,\xi_2 - z_1 \,z_2) +2\pi \,m_2 \;,$

$\arcsin z_1 - \arcsin z_2 = (-1)^{m_3} \,\arcsin(z_1 \,\xi_2 - z_2 \,\xi_1) +\pi \,m_3 \;,$

$\arcsin z_1 - \arcsin z_2 = J_4 \,\arccos(\xi_1 \,\xi_2 + z_1 \,z_2) +2\pi \,m_4 \;,$

$\arccos z_1 + \arccos z_2 = J_5 \,\arccos(z_1 \,z_2 - \xi_1 \,\xi_2) +2\pi \,m_5 \;,$

$\arccos z_1 + \arccos z_2 = (-1)^{m_6} \,\arcsin(z_2 \,\xi_1 + z_1 \,\xi_2) +\pi \,m_6 \;,$

$\arccos z_1 - \arccos z_2 = J_7 \,\arccos(z_1 \,z_2 + \xi_1 \,\xi_2) +2\pi \,m_7 \;,$

$\arccos z_1 - \arccos z_2 = (-1)^{m_8} \,\arcsin(z_2 \,\xi_1 - z_1 \,\xi_2) +\pi \,m_8 \;,$

$\arcsin z_1 + \arccos z_2 = (-1)^{m_9} \,\arcsin(z_1 \,z_2 + \xi_1 \,\xi_2) +\pi \,m_9 \;,$

$\arcsin z_1 + \arccos z_2 = J_{10} \,\arccos(z_2 \,\xi_1 - z_1 \,\xi_2) +2\pi \,m_{10} \;,$

$\arcsin z_1 - \arccos z_2 = (-1)^{m_{11}} \,\arcsin(z_1 \,z_2 - \xi_1 \,\xi_2) +\pi \,m_{11} \;,$

$\arcsin z_1 - \arccos z_2 = J_{12} \,\arccos(z_2 \,\xi_1 + z_1 \,\xi_2) +2\pi \,m_{12} \;,$

где

$\xi_1 =\sqrt{1 -z_1^2} \;,\qquad \xi_2 =\sqrt{1 -z_2^2} \;;$

$J_k$ и $m_k$ – некоторые целые числа; $J_k =\pm 1$;
в каждом уравнении числа $J_k$ и $m_k$ определяются такм образом, чтобы значение функции $\arcsin$ или $\arccos$ в правой части уравнения принадлежало множеству значений этой функции.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!