Площадь треугольника

Содержание

  1. 1. Онлайн-калькулятор площади треугольника
  2. 2. Формула площади треугольника по основанию и высоте
  3. 3. Формула площади треугольника по длинам всех сторон
  4. 4. Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам
  5. 5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  6. 6. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  7. 7. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  8. 8. Тест на тему “Плошадь треугольника”
Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор площади треугольника

Выберите способ решения:
Введите длины сторон треугольника:

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S=12ahS=12ah,

aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример
площадь треугольника

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

a=10a=10
h=5h=5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12105=25S=12105=25 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S=p(pa)(pb)(pc)S=p(pa)(pb)(pc),

a,b,ca,b,c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

p=12(a+b+c)p=12(a+b+c)

Эта формула называется формулой Герона.

Пример
площадь треугольника

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5

Найдем половину периметра pp:

p=12(3+4+5)=1212=6p=12(3+4+5)=1212=6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S=6(63)(64)(65)=36=6S=6(63)(64)(65)=36=6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S=a22sinβsinγsin(β+γ)S=a22sinβsinγsin(β+γ),

aa — длина стороны треугольника;
β,γβ,γ — углы, прилежащие к стороне aa.

Пример
площадь треугольника

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

a=10a=10
β=30β=30
γ=30γ=30

По формуле:

S=1022sin30sin30sin(30+30)=5012314.4S=1022sin30sin30sin(30+30)=5012314.4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Трудности с нахождением площади треугольника? Наши эксперты помогут вам!
Узнать стоимость

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S=abc4RS=abc4R,

a,b,ca,b,c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример
площадь треугольника

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10

S=345410=6040=1.5S=345410=6040=1.5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S=prS=pr,

pp — половина периметра треугольника:

p=a+b+c2p=a+b+c2,

a,b,ca,b,c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример
площадь треугольника

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2

p=3+4+52=6p=3+4+52=6

S=62=12S=62=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S=12bcsin(α)S=12bcsin(α),

b,cb,c — стороны треугольника;

αα — угол между сторонами bb и cc.

Пример
площадь треугольника

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

b=5b=5
c=6c=6
α=30α=30

S=1256sin(30)=7.5S=1256sin(30)=7.5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Вам нужно срочно заказать статью по математике для публикации? Обратитесь за помощью к нашим экспертам!

Тест на тему “Плошадь треугольника”

Комментарии

Нет комментариев

Предыдущая статья

Площадь прямоугольника

Следующая статья

Площадь параллелограмма
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при загрузке теста
×