Как найти площадь трапеции 5 способами: определение, виды, формулы и онлайн-калькулятор.

Что такое площадь трапеции?

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — непараллельны (боковые).

На схеме:

• a и b — основания трапеции (параллельные стороны);
• c и d — боковые стороны (непараллельные);
• h — высота, то есть расстояние между основаниями (проводится перпендикулярно).

Трапеция

Площадь трапеции — это часть плоскости, заключённая внутри данной фигуры. Её можно определить по количеству единичных квадратов, которые поместятся внутрь.

Пример:
Если внутрь трапеции вмещается 14 квадратов со стороной 1 см, то её площадь равна 14 см².

Основания трапеции — это стороны, параллельные друг другу.

Боковые стороны — соответственно, две оставшиеся стороны.

Средняя линия — отрезок, который соединяет центры боковых сторон. Эта линия всегда параллельна основаниям трапеции.

Важные понятия

Прежде чем рассматривать формулы и примеры вычисления, важно разобраться с основными элементами трапеции. Ниже — ключевые геометрические понятия, которые помогут лучше понять схему и формулу площади.

Введем некоторые понятия, которые в дальнейшем помогут решить задачи, связанные с нахождением площади данной фигуры.

Основания трапеции

Определение:
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Они обозначаются как a и b.

Боковые стороны

Определение:
Непараллельные стороны трапеции называются боковыми (или «ножками»). Обозначаются как c и d.

Высота трапеции

Определение:
Высота — это расстояние между основаниями, проведённое перпендикулярно к ним. Обозначается буквой h.

Виды трапеций

В зависимости от длины боковых сторон и углов при основаниях, трапеции делятся на несколько типов. Ниже представлены основные виды с пояснениями и визуальными схемами.

Прямоугольная трапеция

Определение:
Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то есть образует прямой угол.

Особенности:

• Боковая сторона является высотой;
• Прямой угол образуется у одного или двух оснований;
• Удобна при вычислении площади и при построении.

Площадь трапеции можно найти различными способами. Разберем их более подробно и закрепим материал решением простых задач.

Равнобедренная трапеция

Определение:
Это трапеция, у которой боковые стороны равны по длине.

Особенности:

• ∠A = ∠D, ∠B = ∠C (углы при основаниях равны);
• Диагонали равны: AC = BD;
• Основания — разные, но боковые стороны одинаковой длины.

Произвольная трапеция

Определение:
Произвольной называют трапецию, которая не является ни прямоугольной, ни равнобедренной.

Особенности:

• Боковые стороны имеют разную длину;
• Углы при основаниях не равны;
• Может иметь любую форму, кроме перечисленных выше.

Геометрические свойства трапеции

Трапеция — это четырёхугольник с двумя параллельными сторонами, который обладает рядом полезных геометрических свойств. Эти свойства активно используются при решении задач, вычислении площади, периметра и построении фигур.

Основные свойства трапеции:

• Сумма внутренних углов трапеции всегда равна 360°, как и у любого четырёхугольника.
• Средняя линия трапеции:
• проходит параллельно основаниям;
• равна полусумме оснований:

$m = \frac{a + b}{2}$

где a и 𝑏 — основания трапеции.

• Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника.
• В равнобедренной трапеции:
• углы при основаниях равны;
• диагонали равны по длине.
• В прямоугольной трапеции один угол — прямой (90°), а боковая сторона может быть равна высоте.

Формула площади трапеции по основанию и высоте

Пусть нам дана произвольная трапеция. Чтобы найти ее площадь, воспользуемся следующей формулой:

$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$

$a, b$ — основания трапеции;
$h$ — высота трапеции.

Пример

Найти площадь $S$ трапеции, в которой известны основания, численно равные 10 (см.) и 8 (см.) и высота, длиной 6 (см.).

Решение

$a=8$
$b=10$
$h=6$

Сразу подставляем числа в имеющуюся у нас формулу и вычисляем искомую величину:
$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{8+10}{2}\cdot 6=54$ (см. кв.)

Ответ: 54 см. кв.

Формула площади трапеции по высоте и средней линии

Нужно упомянуть, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Тем самым, способ нахождения площади через среднюю линию есть не что иное, как способ, аналогичный первому. Поскольку:

$l=\frac{a+b}{2}$

то:

$S=l\cdot h$

$l$ — средняя линия трапеции;
$h$ — высота.

Пример

Найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 (см.), а высота трапеции в 2 раза больше её.

Трудности с нахождением площади трапеции? Наши эксперты помогут вам!

Узнать стоимость

Решение

$l=5$
$h=2\cdot l$

Найдем высоту трапеции:
$h=2\cdot 5=10$
Площадь:
$S=l\cdot h=5\cdot 10=50$ (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади трапеции по всем сторонам

Данный способ подходит для тех случаев, когда в задаче известны все 4 стороны нашей трапеции.

$S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\big(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2\cdot(b-a)}\big)^2}$

Пример

Даны длины всех сторон трапеции. Основания равны 10 (см.) и 5 (см.), боковые стороны: 4 (см.) и 3 (см.). Найти площадь фигуры.

Решение

$a=5$
$b=10$
$c=4$
$d=3$

Тогда:
$S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\big(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2\cdot(b-a)}\big)^2}=\frac{15}{2}\sqrt{16-\big(\frac{25+16-9}{10}\big)^2}=18$ (см. кв.)

Ответ: 18 см. кв.

Площадь трапеции через основания и углы при основании

В случаях, когда известны длины оснований трапеции и углы при одном из оснований, можно использовать тригонометрию для вычисления площади, особенно если высота явно не дана.

Формула:
Если известны основания
a и b, а также углы при основании
𝛼 и 𝛽, то площадь 𝑆 можно найти по формуле:

$S = \frac{(a + b)^2 \cdot \sin\alpha \cdot \sin\beta}{2 \cdot \sin(\alpha + \beta)}$

Где:
a и b — основания трапеции,
α и β — углы при одном основании (в градусах или радианах),

sin — синус угла.

Когда использовать:

Когда даны два основания и оба прилегающих угла,

Когда высота не указана явно, но углы известны,

При решении тригонометрических задач в геометрии (особенно в ЕГЭ и олимпиадных задачах).

Площадь равнобедренной трапеции через стороны

Если известны все стороны равнобедренной трапеции, можно вычислить её площадь без высоты, используя специальную формулу на основе оснований и боковой стороны.

Формула:
Если
a и b — основания (где a>b), а
c — боковая сторона, то площадь S равнобедренной трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{(a + b)}{4} \cdot \sqrt{4c^2 - (a - b)^2}$

Где:
a, b — основания трапеции,
c — длина боковой стороны (одинаковая с обеих сторон)
√ — квадратный корень.

Когда применять:

• Когда дана равнобедренная трапеция,
• Известны все стороны, но высота не дана,
• Для упрощения расчётов в задачах с геометрическими фигурами.

Онлайн-калькулятор площади трапеции

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

$S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin(\alpha)$

$d_1, d_2$ — диагонали трапеции;
$\alpha$ — угол между диагоналями.

Пример

Пусть две диагонали трапеции равны 20 (см.) и 7 (см.) и при пересечении они образуют угол 30 градусов. Найти площадь трапеции $S$.

Решение

$d_1=20$
$d_2=7$
$\alpha=30^{\circ}$

Площадь:
$S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot20\cdot 7\cdot\sin(30^{\circ})=35$ (см. кв.)

Ответ: 35 см. кв.

Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол

Этот случай подходит только для равнобедренной трапеции.

$S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}$

$r$ — радиус вписанной окружности;
$\alpha$ — угол между основанием и боковой стороной.

Пример

Дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 (см.). Угол $\alpha$ равный 90 градусам. Найти площадь трапеции.

Решение

$r=4$
$\alpha=90^{\circ}$

По формуле:
$S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}=4\cdot 16=64$ (см. кв.)

Ответ: 64 см. кв.

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ?
Оформите заказ на решение задач по геометрии — получите помощь от проверенных экспертов!

Тест по теме «Площадь трапеции»