Площадь поверхности пирамиды

Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)

Решение

$l=8$
$a=3$

Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, то его периметр $p$ (сумма всех его сторон):

$p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9$

Тогда боковая площадь пирамиды:

$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9=36$ (см. кв.)

Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:

$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

$a$ — сторона треугольника.

Получаем:

$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 3^2}{4}\approx3.9$ (см. кв.)

Полная площадь:

$S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}\approx36+3.9=39.9$ (см. кв.)

Ответ: 39.9 см. кв.

Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания $a$. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.

Решение

$S_{\text{квад}}=36$
$l=3\cdot a$

Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:

$S_{\text{квад}}=a^2$
$36=a^2$
$a=6$

Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):

$p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24$

Найдем длину апофемы:

$l=3\cdot a=3\cdot 6=18$

В нашем случае:

$S_{\text{квад}}=S_{\text{осн}}$

Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:

$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 24=216$ (см. кв.)

Полная площадь:

$S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=216+36=252$ (см. кв.)

Ответ: 252 см. кв.