Как найти площадь поверхности куба: формулы, схемы + калькулятор

Что такое площадь поверхности куба?

Площадь поверхности куба — это сумма площадей всех его шести граней. Поскольку у куба все грани — это квадраты одинакового размера, достаточно найти площадь одной грани и умножить её на 6. Формула выглядит так:

S = 6 × a²,
где a — длина ребра куба, S — площадь поверхности.

Этот показатель помогает определить, сколько материала потребуется для обклеивания, покраски или изготовления куба. Например, если длина ребра куба равна 4 см, то площадь поверхности будет:
S = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 см².

Сколько площадей поверхности куба?

У куба одна площадь поверхности, которая состоит из шести равных квадратных граней. Чтобы найти общую площадь поверхности, нужно сложить площади всех шести граней. Поскольку все грани одинаковы, достаточно вычислить площадь одной и умножить её на 6. Именно эта сумма и называется площадью поверхности куба.

Части куба

Куб — это геометрическая фигура, состоящая из нескольких частей, каждая из которых имеет свою роль в структуре фигуры.

• Вершины куба — это точки, где встречаются рёбра. У куба 8 вершин.
• Рёбра куба — это отрезки, соединяющие вершины. Куб имеет 12 рёбер.
• Грани куба — это плоские поверхности, образованные рёбрами. Куб состоит из 6 граней.

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

$S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6$

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S'$

$S'$ — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

$S=6\cdot S'$

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

$S'=a\cdot a=a^2$

$a$ — сторона куба.

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

$d^2=a^2+a^2+a^2$
$d^2=3\cdot a^2$
$d=\sqrt{3}\cdot a$

Отсюда:

$a=\frac{d}{\sqrt{3}}$

Подставим в формулу для площади:

$S=6\cdot a^2=6\cdot\Big(\frac{d}{\sqrt{3}}\Big)^2=2\cdot d^2$

Пример

Одна четвертая часть диагонали куба равна 2 (см.). Найти площадь поверхности куба.

Трудности с нахождением площади куба? Наши эксперты помогут вам!

Узнать стоимость

Решение

$\frac{1}{4}\cdot d=2$

Найдем диагональ:

$d=4\cdot 2=8$

Площадь:

$S=2\cdot d^2=2\cdot 8^2=2\cdot 64=128$ (см. кв.)

Ответ: 128 см. кв.

Формула площади поверхности куба по длине диагонали квадрата (грани куба)

По теореме Пифагора, диагональ квадрата $l$ связанна с его стороной $a$:

$l^2=a^2+a^2$
$l^2=2\cdot a^2$
$l=\sqrt{2}\cdot a$

Тогда сторона квадрата:

$a=\frac{l}{\sqrt{2}}$

Подставляем в формулу для площади и получаем:

$S=6\cdot a^2=3\cdot l^2$

Разберем более сложные примеры.

Формула площади поверхности куба по площади вписанного в куб шара

В куб вписан шар площади $S_{\text{шар}}$. Тогда радиус $R$ этого шара равен половине длины стороны куба $a$:

$R=\frac{a}{2}$

Площадь шара дается формулой:

$S_{\text{шар}}=4\cdot\pi\cdot R^2$

Отсюда найдем радиус шара:

$R=\sqrt{\frac{S_{\text{шар}}}{4\cdot\pi}}$

Сторона грани куба:

$a=2\cdot R=2\cdot\sqrt{\frac{S_{\text{шар}}}{4\cdot\pi}}$

Наконец площадь поверхности куба:

$S=6\cdot a^2=\frac{6\cdot S_{\text{шар}}}{\pi}$

$S=\frac{6\cdot S_{\text{шар}}}{\pi}$

$S_{\text{шар}}$ — площадь шара, вписанного в куб.

Вы можете заказать решение задач по геометрии на Студворк и получить помощь от опытных исполнителей!

Онлайн-калькулятор площади поверхности куба

Тест по теме “Площадь поверхности куба”