Площадь поверхности куба

Онлайн-калькулятор площади поверхности куба

У куба есть двенадцать ребер, то есть, отрезков, которые являются сторонами квадратов.
Также он имеет восемь вершин и шесть граней.
У куба есть диагональ, соединяющая противоположные вершины.

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

$S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6$

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S'$

$S'$ — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

$S=6\cdot S'$

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

$S'=a\cdot a=a^2$

$a$ — сторона куба.

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

$d^2=a^2+a^2+a^2$
$d^2=3\cdot a^2$
$d=\sqrt{3}\cdot a$

Отсюда:

$a=\frac{d}{\sqrt{3}}$

Подставим в формулу для площади:

$S=6\cdot a^2=6\cdot\Big(\frac{d}{\sqrt{3}}\Big)^2=2\cdot d^2$

Формула площади поверхности куба по длине диагонали квадрата (грани куба)

По теореме Пифагора, диагональ квадрата $l$ связанна с его стороной $a$:

$l^2=a^2+a^2$
$l^2=2\cdot a^2$
$l=\sqrt{2}\cdot a$

Тогда сторона квадрата:

$a=\frac{l}{\sqrt{2}}$

Подставляем в формулу для площади и получаем:

$S=6\cdot a^2=3\cdot l^2$

Разберем более сложные примеры.

Формула площади поверхности куба по площади вписанного в куб шара

В куб вписан шар площади $S_{\text{шар}}$. Тогда радиус $R$ этого шара равен половине длины стороны куба $a$:

$R=\frac{a}{2}$

Площадь шара дается формулой:

$S_{\text{шар}}=4\cdot\pi\cdot R^2$

Отсюда найдем радиус шара:

$R=\sqrt{\frac{S_{\text{шар}}}{4\cdot\pi}}$

Сторона грани куба:

$a=2\cdot R=2\cdot\sqrt{\frac{S_{\text{шар}}}{4\cdot\pi}}$

Наконец площадь поверхности куба:

$S=6\cdot a^2=\frac{6\cdot S_{\text{шар}}}{\pi}$

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме “Площадь поверхности куба”