Объем тетраэдра

Известны координаты четырех вершин октаэдра. $A(1,4,9)$, $B(8,7,3)$, $C(1,2,3)$, $D(7,12,1)$. Найдите его объем.

Решение

$A(1,4,9)$
$B(8,7,3)$
$C(1,2,3)$
$D(7,12,1)$

Первым шагом является определение координат векторов, на которых построено данное тело.
Для этого необходимо найти каждую координату вектора путем вычитания соответствующих координат двух точек. Например, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, то есть, вектора, направленного от точки $A$ к точке $B$, это разности соответствующих координат точек $B$ и $A$:

$\overrightarrow{AB}=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)$

Далее, аналогично:

$\overrightarrow{AC}=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6)$
$\overrightarrow{AD}=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)$

Теперь найдем смешанное произведение данных векторов, для этого составим определитель третьего порядка, при этом принимая, что $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{c}$.

$\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot(-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268$

То есть, объем тетраэдра равен:

$V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot268\approx44.8\text{ см}^3$

Ответ

$44.8\text{ см}^3.$

Определить объем тетраэдра, если дана его сторона, равная $11\text{ см}$.

Решение

$a=11$

Подставляем $a$ в формулу для объема тетраэдра:

$V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 11^3}{12}\approx156.8\text{ см}^3$

Ответ

$156.8\text{ см}^3.$