Объем тетраэдра

Содержание

  1. 1. Онлайн-калькулятор объема тетраэдра
  2. 2. Формулы объема тетраэдра
    1. 2.1. Через смешанное произведение векторов
    2. 2.2. Формула объема равногранного тетраэдра по его стороне
  3. 3. Тест по теме «Объем тетраэдра»
Тест: 3 вопроса
1.

Основная формула для вычисления объема тетраэдра:

треть произведения площади одной из граней на длину высоты

полусумма оснований на высоту

удвоенное произведение основания на высоту

2.

Сколько всего граней у тетраэдра

2

3

4

5
3.

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A, B, C, D: A(14;4;5), B(–5;–3;2), C(–2;–6;–3), D(–2;2;–1).

113

676

812

Трудности с нахождением объема тетраэдра? Наши эксперты помогут вам!
Узнать стоимость
Выберите способ решения:
Введите длину ребра  :
Определение тетраэдра

Тетраэдр – простейшее многогранное тело, гранями и основанием которого являются треугольники.

Онлайн-калькулятор объема тетраэдра

Тетраэдр имеет четыре грани, каждая их которых образована тремя сторонами. Вершин у тетраэдра четыре, из каждой выходит по три ребра.

Данное тело разделяется на несколько видов. Ниже приведена их классификация.

  1. Равногранный тетраэдр — у него все грани являются одинаковыми треугольниками;
  2. Ортоцентрический тетраэдр — все высоты, проведенные из каждой вершины на противолежащую грань, являются одинаковыми по длине;
  3. Прямоугольный тетраэдр — ребра, исходящие из одной вершины, образуют друг с другом угол в 90 градусов;
  4. Каркасный;
  5. Соразмерный;
  6. Инцентрический.

Формулы объема тетраэдра

Объем данного тела можно найти несколькими способами. Разберем их более подробно.

Через смешанное произведение векторов

Если тетраэдр построен на трех векторах с координатами:

a=(ax,ay,az)\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b=(bx,by,bz)\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c=(cx,cy,cz)\vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем этого тетраэдра это смешанное произведение этих векторов, то есть такой определитель:

Объем тетраэдра через определитель

V=16axayazbxbybzcxcyczV=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}

Задача 1

Известны координаты четырех вершин октаэдра. A(1,4,9)A(1,4,9), B(8,7,3)B(8,7,3), C(1,2,3)C(1,2,3), D(7,12,1)D(7,12,1). Найдите его объем.

Решение

A(1,4,9)A(1,4,9)
B(8,7,3)B(8,7,3)
C(1,2,3)C(1,2,3)
D(7,12,1)D(7,12,1)

Первым шагом является определение координат векторов, на которых построено данное тело.
Для этого необходимо найти каждую координату вектора путем вычитания соответствующих координат двух точек. Например, координаты вектора AB\overrightarrow{AB}, то есть, вектора, направленного от точки AA к точке BB, это разности соответствующих координат точек BB и AA:

AB=(81,74,39)=(7,3,6)\overrightarrow{AB}=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)

Далее, аналогично:

AC=(11,24,39)=(0,2,6)\overrightarrow{AC}=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6)
AD=(71,124,19)=(6,8,8)\overrightarrow{AD}=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)

Теперь найдем смешанное произведение данных векторов, для этого составим определитель третьего порядка, при этом принимая, что AB=a\overrightarrow{AB}=\vec{a}, AC=b\overrightarrow{AC}=\vec{b}, AD=c\overrightarrow{AD}=\vec{c}.

axayazbxbybzcxcycz=736026688=7(2)(8)+3(6)6+(6)08(6)(2)67(6)830(8)=112108072+336+0=268\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot(-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268

То есть, объем тетраэдра равен:

V=16axayazbxbybzcxcycz=16736026688=1626844.8 см3V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot268\approx44.8\text{ см}^3

Ответ

44.8 см3.44.8\text{ см}^3.

Формула объема равногранного тетраэдра по его стороне

Эта формула справедлива только для вычисления объема равногранного тетраэдра, то есть такого тетраэдра, у которого все грани являются одинаковыми правильными треугольниками.

Объем равногранного тетраэдра

V=2a312V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}

aa — длина ребра тетраэдра.

Задача 2

Определить объем тетраэдра, если дана его сторона, равная 11 см11\text{ см}.

Решение

a=11a=11

Подставляем aa в формулу для объема тетраэдра:

V=2a312=211312156.8 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 11^3}{12}\approx156.8\text{ см}^3

Ответ

156.8 см3.156.8\text{ см}^3.

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме «Объем тетраэдра»

Комментарии

Нет комментариев

Предыдущая статья

Объем усеченной пирамиды

Следующая статья

Объем октаэдра
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир