Объем октаэдра

Площадь полной поверхности октаэдра равна $68\sqrt{3}\text{ см}^2$. Вычислите его объем.

Решение

$S=68\sqrt{3}$

Нам нужно найти объем октаэдра, но вместо длины его стороны нам дана его полная площадь поверхности. Запишем формулу для этой площади:

$S=2\sqrt{3}\cdot a^2$,

где $a$ — длина стороны октаэдра.

Теперь мы можем найти отсюда $a$ и воспользоваться нашей формулой для объема:

$68\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot a^2$

$68=2\cdot a^2$

$a^2=34$

$a=\sqrt{34}\approx5.83$

Объем:

$V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}\approx\frac{\sqrt{2}\cdot 5.83^3}{3}\approx93.46\text{ см}^3$

Ответ: $93.46\text{ см}^3.$

Найти объем октаэдра, если по условию известно, что радиус описанной вокруг него сферы равен $17\sqrt{2}\text{ см}$.

Решение

$R=17\sqrt{2}$

Если октаэдр вписан в сферу, то радиус этой сферы можно вычислить по формуле:

$R=\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2}$,

где $a$ — длина стороны октаэдра.

Находим отсюда $a$:

$a=\sqrt{2}\cdot R$

$a=\sqrt{2}\cdot17\sqrt{2}=2\cdot17=34$

Объем октаэдра:

$V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}=\frac{\sqrt{2}\cdot 34^3}{3}\approx18528\text{ см}^3$

Ответ: $18528\text{ см}^3.$

В октаэдр вписана сфера радиуса $19\text{ см}$. Определите его объем.

Решение

$r=19$

Если октаэдр описан вокруг сферы, то радиус этой сферы можно вычислить по формуле:

$r=\frac{\sqrt{6}\cdot a}{6}$,

где $a$ — длина стороны октаэдра.

Находим $a$:

$a=\sqrt{6}\cdot r$

$a=\sqrt{6}\cdot19\approx46.54$

Объем октаэдра:

$V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}\approx\frac{\sqrt{2}\cdot 46.54^3}{3}\approx47519.6\text{ см}^3$

Ответ: $47519.6\text{ см}^3.$