Объем шара

Шар вписан в куб, диагональ $d$ которого равна $\sqrt{500}\text{ см.}$ Найти объем шара.

Решение

$d=\sqrt{500}$

Для начала необходимо определить длину стороны куба. Будем считать, что она равна $a$. Следовательно, диагональ куба, равна (исходя из теоремы Пифагора):

$d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}$

$d=\sqrt{3\cdot a^2}$

$d=\sqrt{3}\cdot a$

$\sqrt{500}=\sqrt{3}\cdot a$

$a=\sqrt{\frac{500}{3}}$

$a\approx12.9$

Если в куб вписан шар, то его радиус равен половинке длины стороны этого куба. В результате имеем:

$R=\frac{1}{2}\cdot a$

$R=\frac{1}{2}\cdot 12.9\approx6.4$

Заключительный этап — нахождение объема шара по формуле:

$V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097,5\text{ см}^3$

Ответ

$1097,5\text{ см}^3.$

Диаметр шара равен $15\text{ см.}$ Найдите его объем.

Решение

$D=15$

Сразу подставляем значение диаметра в формулу:

$V=\frac{\pi}{6}\cdot D^3=\frac{\pi}{6}\cdot 15^3\approx1766.25\text{ см}^3$

Ответ

$1766.25\text{ см}^3.$