Вычисление объема пирамиды - расчет по формуле на онлайн-калькуляторе

Определение пирамиды

Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор объема пирамиды

У пирамиды есть ребра. Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань — это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.

Типы пирамид

Различают следующие типы пирамид.

Прямоугольная — у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
Правильная — ее основание — какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
Тетраэдр — пирамида, у которой в основании лежит треугольник.

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды находится несколькими способами.

По площади основания и высоте пирамиды

Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.

Объем пирамиды по площади основания и высоте

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$

$S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды;
$h$ — высота данной пирамиды.

Задача 1

Площадь основания пирамиды равна $100\text{ см}^2$ , а высота ее равна $30\text{ см}$ . Найдите объем тела.

Решение

$S_{\text{осн}}=100$
$h=30$

Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 30=1000\text{ см}^3$

Ответ

$1000\text{ см}^3.$

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.

Объем правильной треугольной пирамиды

$V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}}$

$h$ — высота пирамиды;
$a$ — сторона основания пирамиды.

Задача 2

Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна $5\text{ см}$ , а высота пирамиды равна – $19\text{ см}$ .

Решение

$a=5$
$h=19$

Просто подставляем данные величины в формулу для объема:

$V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}}=\frac{19\cdot 5^2}{4\sqrt{3}}\approx68.6\text{ см}^3$

Ответ

$68.6\text{ см}^3.$

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

$V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2$

$h$ — высота пирамиды;
$a$ — сторона основания пирамиды.

Задача 3

Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна $7\text{ см}$ , a сторона основания составляет – $2\text{ см}$ .

Решение

$a=2$
$h=7$

По формуле вычисляем:

$V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2=\frac{1}{3}\cdot 7\cdot 2^2\approx9.3\text{ см}^3$

Ответ

$9.3\text{ см}^3.$

Формула объема тетраэдра

Объем тетраэдра

$V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}$

$a$ — длина ребра тетраэдра.

Задача 4

Длина ребра тетраэдра равна $13\text{ см}$ . Найдите его объем.

Решение

$a=13$

Подставляем $a$ в формулу для объема тетраэдра:

$V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 13^3}{12}\approx259\text{ см}^3$

Ответ

$259\text{ см}^3.$

Формула объема пирамиды как определитель

Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.

Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:

$\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$
$\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$
$\vec{c}=(c_x, c_y, c_z)$ ,

тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:

Объем пирамиды через определитель

$V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}$

Задача 5

Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: $\vec{a}=(2,3,5)$ , $\vec{b}=(1,4,4)$ , $\vec{c}=(3,5,7)$ .

Решение

$\vec{a}=(2,3,5)$
$\vec{b}=(1,4,4)$
$\vec{c}=(3,5,7)$

По формуле:

$V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac{1}{6}\cdot( 56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac{1}{6}\cdot(-4)=-\frac{2}{3}\approx-0.7$

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

$V=0.7\text{ см}^3$

Ответ

$0.7\text{ см}^3.$

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Объем пирамиды

Онлайн-калькулятор объема пирамиды

Типы пирамид

Формулы объема пирамиды

По площади основания и высоте пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема тетраэдра

Формула объема пирамиды как определитель

Тест по теме “Объем пирамиды”

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Объем пирамиды

Онлайн-калькулятор объема пирамиды

Типы пирамид

Формулы объема пирамиды

По площади основания и высоте пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема тетраэдра

Формула объема пирамиды как определитель

Тест по теме “Объем пирамиды”

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0