Объем куба

Найти объем куба, если периметр $P$ его грани $a$ равен $16\text{ cм.}$

Решение

$P=16$

Периметр $P$ грани куба связан с длиной его ребра $a$ по формуле:

$P=a+a+a+a=4\cdot a$

$16=4\cdot a$

$a=\frac{16}{4}=4$

Найдем объем нашего тела:

$V=a^3=4^3=64\text{ см}^3$

Ответ: $64\text{ см}^3.$

Одна четвертая часть диагонали квадрата равна $3\text{ см.}$ Найти объем куба, образованного данным четырехугольником.

Решение

Пусть $d$ — диагональ фигуры, тогда по условию:

$\frac{d}{4}=3$

$d=4\cdot 3=12$

Найдем сторону этого квадрата. Обратимся за помощью к теореме Пифагора:

$a^2+a^2=12$,

где $a$ — сторона квадрата.

$2\cdot a^2=12$

$a=\sqrt{6}$

Приходим к окончательным расчетам для объема:

$V=a^3=(\sqrt{6})^3=6\sqrt{6}\text{ см}^3$

Ответ: $6\sqrt{6}\text{ см}^3.$

В куб вписан шар, площадь $S$ которого равна $64\pi$. Найти объем куба.

Решение

$S=64\pi$

Первый шагом является нахождение радиуса $R$ данного шара. Формула его площади такова:

$S=4\cdot\pi\cdot R^2$

$64\pi=4\cdot\pi\cdot R^2$

$64=4\cdot R^2$

$\frac{64}{4}=R^2$

$16=R^2$

$R=4$

Для куба радиус вписанного шара является половиной его стороны $a$:

$a=2\cdot R=2\cdot4=8$

Объем вычисляется следующим образом:

$V=a^3=8^3=512\text{ см}^3$

Ответ: $512\text{ см}^3.$