Объем додекаэдра

Найти объем додекаэдра, если радиус вписанного в него шара равен $15\text{ см}$.

Решение

$r=15$

Радиус шара, вписанного в додекаэдр вычисляется так:

$r=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}$,

где $a$ — длина ребра додекаэдра.

Выразим отсюда $a$:

$a=\frac{4\cdot r}{\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}}$

$a=\frac{4\cdot 15}{\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}}$

$a\approx13.47$

Объем тела:

$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 13.47^3\approx18728.73\text{ см}^3$

Ответ: $18728.73\text{ см}^3.$

Найти объем додекаэдра, если площадь его поверхности равна $140\text{ см}^2$.

Решение

$S=140$

Площадь поверхности додекаэдра вычисляется таким образом:

$S=3\cdot a^2\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}$,

где $a$ — длина ребра додекаэдра.

Отсюда $a$ равно:

$a^2=\frac{S}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}$

$a=\sqrt{\frac{S}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}}$

$a=\sqrt{\frac{140}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}}$

$a\approx\sqrt{13.86}\approx2.60$

Объем додекаэдра:

$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 2.60^3\approx134.69\text{ см}^3$

Ответ: $134.69\text{ см}^3.$

Найти объем додекаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен $17\text{ см}$.

Решение

$R=17$

Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра можно найти по формуле:

$R=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5})$,

где $a$ — длина ребра додекаэдра.

Найдем $a$:

$a=\frac{4\cdot R}{\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5})}$

$a=\frac{4\cdot 17}{\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5})}$

$a\approx12.13$

Объем додекаэдра:

$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 12.13^3\approx13676.91\text{ см}^3$

Ответ: $13676.91\text{ см}^3.$