Что называют сокращением дроби?
Сокращением дроби называется замена её другой, равной ей дробью с меньшими членами, путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Суть сокращения заключается в упрощении дроби, что делает её более удобной для работы.
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равную исходной. Это свойство позволяет сократить дроби, упрощая их без изменения значения.
Как сокращать дроби: основные правила
Существует несколько методов сокращения дробей, каждый из которых применяется в зависимости от вида дроби. Сокращение помогает упростить дробь и сделать её более удобной для вычислений. Рассмотрим основные правила сокращения дробей.
Сокращение правильных дробей
Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
Разделите числитель и знаменатель на НОД.
Полученная дробь будет равна исходной, но с меньшими числителем и знаменателем.
Unexpected text node: 'НОД'
Сокращение неправильных дробей
Определите НОД числителя и знаменателя.
Разделите числитель и знаменатель на НОД.
Убедитесь, что дробь не может быть сокращена дальше.
Unexpected text node: 'НОД'
Сокращение квадратных дробей
Представьте числитель и знаменатель в виде квадратов чисел.
Извлеките квадратный корень из числителя и знаменателя.
Полученная дробь будет сокращенной.
Unexpected text node: 'НОД'
Сокращение дробей со степенями
Примените правила степеней — если дробь содержит степени, то сокращение выполняется с использованием правил возведения в степень.
Сократите коэффициенты и степени по одному и тому же числу.
a4a2=a4−2=a2
Сокращение дробей с корнями
Извлеките корень из числителя и знаменателя дроби.
Сократите дробь, если возможно.
3649=67
Сокращать дроби можно последовательным сокращением на общие делители числителя и знаменателя.
Задание
Сократить дробь 2444.
Решение
Как видим, числитель и знаменатель заданной дроби являются четными числами, а поэтому и можно сократить на их общий делитель - 2:
2444=1222.
Аналогично, общим делителем полученных числителя 12 и знаменателя 22 есть число 2, а поэтому производим дальнейшее сокращение на 2:
2444=1222=611.
Полученные числа - 6 и 11 - уже являются взаимно простыми.
Итак, после сокращения окончательно имеем: 2444=611.
Также сокращать можно сразу на наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который можно находить либо с помощью канонических разложений на простые множители, либо с помощью алгоритма Евклида.
Сокращение дробей на наибольший общий делитель
Наибольшим общим делителем чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка.
Задание
Сократить дробь 8403600.
Решение
Вначале найдем НОД чисел 840 и 3600 двумя способами.
Первый способ: с помощью канонических разложений на простые множители. Запишем указанные канонические разложения:
Таким образом, 840=23⋅3⋅5⋅7, 3600=24⋅32⋅52.
Из полученных разложений выписываем одинаковые множители в наименьшей степени, что и определяет НОД: НОД(840,3600)=23⋅3⋅5=120.
Сокращение дробей с помощью алгоритма Евклида
НОД двух чисел равен последнему, неравному нулю остатку в алгоритме Евклида.
Будем выполнять деление в столбик. Начнем с того, что знаменатель 3600 поделим на числитель 840 (большее число делится на меньшее):
Итак, НОД(840,3600)=120.
После того, как НОД найден, делим числитель и знаменатель дроби 8403600 на 120, в результате получим: 8403600=730.
Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, то есть являются взаимно простыми числами, то дробь называется несократимой. Например 719.
Не знаете, где заказать решение задач по алгебре? Авторы Студворк к вашим услугам! Перейдите по ссылке на страницу заказа решения задач по алгебре и получите помощь от профессионалов.
Комментарии