Числовая последовательность

Каждый человек в своей жизни хотя бы раз да встречался с числовыми последовательностями, простейшими примерами которых могут быть: номера домов, время, даты. Интуиция, наверное, дает более или менее правильное представлении об этом понятии, тем не менее, дадим более строгое определение.
Давайте представим бесконечный ряд натуральных чисел, расположенных по возрастанию:
$1,2,3,4,5,6,7,8...$
Если теперь каждому натуральному числу $n\in N$ по какому-либо правилу поставить в соответствие вещественное число $z\in R$, которое обычно обозначают как $z_n$. Индекс указывет какому именно натуральному числу оно поставлено в соответствие. Таким образом множество чисел $z_n$ и называется числовой последовательностью. Причем порядок следования членов последовательности определяется порядком следования натуральных чисел, в соответствие которым они поставлены. Сам факт соответствия обозначают так:
$z_n\to n$

Как задается числовая последовательность

Чтобы задать числовую последовательность, достаточно указать правило соответствия $z_n\to n$.

Правило, ставящее в соответствие числам $n$ вещественные числа $z_n$, может быть совершенно произвольным и не обязательно должно выражаться формулой, как в примерах выше. Тут уж у кого на что хватит фантазии.
Например, если мы записываем число $e$ сначала с одним знаком после запятой, потом с двумя и так далее, то последовательность будет такой:
$\begin{array}{cccccc} z_n&2.7&2.71&2.718&2.7182& ...\\ n&1&2&3&4& ... \end{array}$
И считается заданной, несмотря на то что формульного выражения мы для нее не имеем.
Весьма известной последовательностью является последовательность Фибоначчи, каждый член которой является суммой двух предыдущих. Начинается с нуля и единицы:
$\begin{array}{cccccc} f_n&0&1&1&2&...\\ n&1&2&3&4&... \end{array}$
Или геометрическая прогрессия:
$d_n=d_1q^{n-1}$
На практике еще иногда встречается последовательность, заданная рекуррентной формулой. Это такая последовательность, каждый член которой вычисляется по некоторому количеству предыдущих. Последовательность Фибоначчи задается именно рекуррентной формулой:
$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$.

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме «Числовая последовательность»