Что такое поверхностный интеграл 1-го рода

Наверняка всем знакомо понятие простейшего определенного интеграла:

$\int\limits_{a}^{b} f(x) dx$

Определяется он так: отрезок $[a,b]$ разбивается на $n$ частей (не обязательно одинаковых), затем ищутся $n$ значения некой функции $f(x)$ в какой-либо точке
$\tau_i\in[x_i,x_{i+1}]$
каждого из отрезков и составляется сумма:

$\sum\limits_1^n f(\tau_i) \Delta x_i$

Определенный интеграл

Предел, к которому стремится эта сумма при стремлении отрезка максимальной длины к нулю (при этом количество отрезков будет возрастать).

Понятие поверхностного интеграла 1-го рода не отличается новизной. Поверхность разбивается на некоторое количество кусочков (на рисунке: поверхность σ, ее кусочек σ_i), затем в какой-либо точке каждого кусочка вычисляют значение функции и составляют сумму по всем кусочкам:

$\sum P(x_i,u_i,z_i) \Delta \sigma_i$

Поверхностный интеграл второго рода

Предел, к которому стремится эта сумма при стремлении площади наибольшего кусочка к нулю
и обозначается как:

$\iint\limits_{\sigma} P(M) d\sigma$

Очень важно видеть аналогию в определении простого и поверхностного интегралов, так как эта аналогия прослеживается во всем интегральном исчислении, будь то криволинейный, объемный, многократный интегралы, и встретится еще не раз.

Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода

Вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на любую из плоскостей $xy,zx,yz$. Для того чтобы найти эту проекцию, например, на плоскость $xy$, нужно элемент площади $d\sigma$ умножить на косинус угла между нормалью и осью $z$. С остальными проекциями дело обстоит точно так же. Для проекции на плоскость $zx$ умножаем на косинус угла между нормалью и осью $y$, для проекции на плоскость $yz$ умножаем на косинус угла между нормалью и осью $x$. Косинусы этих углов называются направляющими.
Проще и нагляднее будет с этим разобраться на примере плоских фигур.

Как видно, площадь $\sigma=ab,\sigma_{xy}=ac$, но$c=a\cdot \cos(\alpha)$. Так что:

$\sigma_{xy}=cb=ab \cos(\alpha)=\sigma\cos(\alpha)$

Предположим, что мы имеем поверхность, заданную формулой $F(x,y,z)=C$. Например, для конуса это будет:

$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=z^2\to \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}-z^2=0=F$

Для эллипсоида:

$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=1=F$

Тогда найти направляющие косинусы не трудно:

$\cos(\alpha)=\vec{n}\cdot\vec{i}$

$\cos(\beta)=\vec{n}\cdot\vec{j}$

$\cos(\gamma)=\vec{n}\cdot\vec{k}$

Но мы имеем для нормали формулу:

$\cos(\beta)=|\frac{\frac{\partial F}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\vec{k}}{\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}}\cdot\vec{j}|=|\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}}|$

$\cos(\gamma)=|\frac{\frac{\partial F}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\vec{k}}{\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}}\cdot\vec{k}|=|\frac{\frac{\partial F}{\partial z}}{\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}}|$

Обратите внимание

Так как элемент площади существенно положительная величина, то и его проекция обязана быть существенно положительной величиной. Поэтому значения косинусов берем по модулю.

Проектируя элемент поверхности, например, на плоскость$xy$:

$d\sigma\cos(\gamma)=dxdy\to d\sigma=\frac{dxdy}{\cos(\gamma)}$

Теперь, можно написать для поверхностного интеграла:
$\iint\limits_{\sigma} P(M)d\sigma=\iint\limits_{\sigma_{xy}} P(M)\cdot \frac{dxdy}{\cos(\gamma)}=\iint\limits_{\sigma_{xy}} P(M) |\frac{\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}}{\frac{\partial F}{\partial z}}|dxdy$
Сведя его вычисление к двойному.

Пример

Требуется вычислить площадь поверхности $\sigma$, заключенную внутри цилиндрической поверхности $S$.

$\sigma:2z=4-x^2-y^2 \;\;\;\;S:x^2+y^2=2$

Найдем дифференциал поверхности:

$2z=4-x^2-y^2\to F=2z-4+x^2+y^2$

$\frac{\partial F}{\partial x}=2x\;\;\;\frac{\partial F}{\partial y}=2y\;\;\;\frac{\partial F}{\partial z}=2$

$\sqrt{(\frac{\partial F}{\partial x})^2+(\frac{\partial F}{\partial y})^2+(\frac{\partial F}{\partial z})^2}=\sqrt{4x^2+4y^2+4}=2\sqrt{x^2+y^2+1}$

Тогда:

$\vec{n}=\frac{2x\vec{i}+2y\vec{j}+2\vec{k}}{2\sqrt{x^2+y^2+1}}=\frac{x\vec{i}+y\vec{j}+\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

$\cos(\gamma)=\vec{n}\cdot\vec{k}=+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

$d\sigma\cos(\gamma)=dxdy\to d\sigma=\frac{dxdy}{\cos(\gamma)}=\sqrt{x^2+y^2+1}dxdy$

$S=\iint\limits_\sigma d\sigma=\iint\limits_{\sigma_{xy}} \sqrt{x^2+y^2+1}dxdy$

Перейдем в полярную систему координат:

$x=r\cos(\varphi) \;\;\; y=r\sin(\varphi)$

Якобиан:

$J(r,\varphi)=r$

Тогда:

$\iint\limits_{\sigma_{xy}} \sqrt{x^2+y^2+1} dxdy=\iint\limits_{\sigma_{r\varphi}} \sqrt{r^2+1}rdrd \varphi=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{r^2+1}rdr\int\limits_0^{2\pi} d\varphi=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\int\limits_0^{\sqrt{2}} \sqrt{r^2+1}d(r^2+1)=\frac{2}{3}\pi(r^2+1)^ \frac{3}{2} |_0^{\sqrt{2}}=\frac{2}{3}\pi(3)^ \frac{3}{2}=2\pi\sqrt{3}$

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме “Что такое поверхностный интеграл 1-го рода”