Нахождение расстояния от точки до плоскости

Тест: 3 вопроса
1.

Наклонная длиной 16 см образует со своей проекцией угол в 60°. Определите длину проекции.

32 см

8 см

18 см

6 см

2. Две наклонные, длиной 10 см образуют между собой угол в 60 градусов. Чему равно расстояние между основаниями этих наклонных?
5 см
10 см
15 см
20 см
3.

Выберите верные утверждения.


Если наклонные равны, то равны и их проекции.

Если проекции наклонных равны, то равны и наклонные.

Наклонная равна перпендикуляру

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости принято считать длину отрезка, который опущен из этой точки к данной плоскости, причем отрезок этот является перпендикуляром, то есть образует с плоскостью угол в 90 градусов.

Основным способом нахождения данного расстояние является метод использования уравнения плоскости и координат точки.

Если плоскость задана уравнением:

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,

и имеются координаты точки M(xM,yM,zM)M(x_M, y_M, z_M), то расстояние от этой точки до данной плоскости можно найти следующим образом:

Расстояние от точки до плоскости

d=AxM+ByM+CzM+DA2+B2+C2d=\frac{A\cdot x_M+B\cdot y_M+C\cdot z_M+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},

где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость, а (xM,yM,zM)(x_M, y_M, z_M) — координаты точки MM.

Здесь будет калькулятор

Пример 1

Дано уравнение плоскости 5x7y+2z+3=05x-7y+2z+3=0 и точка с координатами (1;3;8)(1; -3; 8). Требуется найти расстояние между точкой и плоскостью.

Решение

В данном случае:

A=5A=5
B=7B=-7
C=2C=2
D=3D=3
xM=1x_M=1
yM=3y_M=-3
zM=8z_M=8

Пользуясь формулой, можно найти расстояние:

d=AxM+ByM+CzM+DA2+B2+C2=51+(7)(3)+28+352+(7)2+225d=\frac{A\cdot x_M+B\cdot y_M+C\cdot z_M+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{5\cdot 1+(-7)\cdot (-3)+2\cdot 8+3}{\sqrt{5^2+(-7)^2+2^2}}\approx5

Ответ

55

Возможен также вариант, когда уравнение плоскости не задано, но в задаче приведен треугольник.

Пример 2

Найти расстояние от заданной точки до плоскости, если известна длина отрезка H1H2H_1H_2 равная 3 см3\text{ см} и длина отрезка MH2MH_2, которая на 2 см2\text{ см} больше H1H2H_1H_2. Найти расстояние от точки MM до плоскости.

Решение

В рассматриваемой задаче искомой длиной будет длина отрезка MH1MH_1. Включаем данные нам отрезки в прямоугольный треугольник. Тогда, по теореме Пифагора:

(MH2)2=(MH1)2+(H1H2)2(MH_2)^2=(MH_1)^2+(H_1H_2)^2

Отсюда:

(MH1)2=(MH2)2(H1H2)2(MH_1)^2=(MH_2)^2-(H_1H_2)^2

Поскольку, MH2MH_2=H1H2+2=3+2=5H_1H_2+2=3+2=5, то:

(MH1)2=(MH2)2(H1H2)2=259=16(MH_1)^2=(MH_2)^2-(H_1H_2)^2=25-9=16

d=MH1=4 смd=MH_1=4\text{ см}

Ответ

4 см4\text{ см}

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Нахождение расстояния от точки до плоскости»

Комментарии
1

в формуле расстояния ошибка - числитель должен быть под модулем

Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир