Нахождение расстояния между двумя точками

Содержание

  1. 1. Расстояние между двумя точками на прямой
  2. 2. Расстояние между двумя точками на плоскости
  3. 3. Расстояние между двумя точками в пространстве

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: AA и BB. Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка ABAB. Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

AB=abAB=|a-b|,

где a,ba, b — координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

То есть:

ab=ba|a-b|=|b-a|

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка AA, координата которой равна 99 и точка BB с координатой 1-1. Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь a=9,b=1a=9, b=-1

Пользуемся формулой и подставляем значения:

AB=ab=9(1)=10=10AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10

Ответ

10

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось OXOX и на ось OYOY. Затем рассматривается треугольник ABCABC. Так как он является прямоугольным (BCBC перпендикулярно ACAC), то найти отрезок ABAB, он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2

Но, исходя из того, что длина ACAC равна xBxAx_B-x_A, а длина BCBC равна yByAy_B-y_A, эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},

где xA,yAx_A, y_A и xB,yBx_B, y_B — координаты точек AA и BB соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками CC и FF, если координаты первой (8;1)(8;-1), а второй — (4;2)(4;2).

Решение

xC=8x_C=8
yC=1y_C=-1
xF=4x_F=4
yF=2y_F=2

CF=(xFxC)2+(yFyC)2=(48)2+(2(1))2=16+9=25=5CF=\sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=\sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Ответ

5

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Пример 3

Найти длину отрезка FKFK в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (1;1;8)(-1;-1;8) и (3;6;0)(-3;6;0). Ответ округлить до целого числа.

Решение

F=(1;1;8)F=(-1;-1;8)
K=(3;6;0)K=(-3;6;0)

FK=(xKxF)2+(yKyF)2+(zKzF)2=(3(1))2+(6(1))2+(08)2=11710.8FK=\sqrt{(x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2}=\sqrt{(-3-(-1))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2}=\sqrt{117}\approx10.8

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Ответ

10

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир