Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.
Здесь будет калькулятор
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y=kx+b,
где k — угловой коэффициент, а b — свободный коэффициент.
Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:
y−y0=k(x−x0),
где (x0;y0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2. Угловой коэффициент принять равным 1.
Решение
Подставляем значения в формулу:
y−y0=k(x−x0)
y−2=1⋅(x−1)
Приводим подобные слагаемые:
y=x+1
Ответ
y=x+1
Общее уравнение прямой
Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:
y−x−1=0
Уравнение прямой по двум точкам
Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2,
где (x1;y1),(x2;y2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.
Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3) и (4;−1).
Решение
x1=2
y1=3
x2=4
y2=−1
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
x−42−4=y−(−1)3−(−1)
x−4−2=y+14
x−4=−y−12
y+1=2⋅(4−x)
y=8−2x−1
y=−2x+7
Ответ
y=−2x+7
Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0,
где (x0;y0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2) — координаты вектора нормали к этой прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8).
Решение
x0=7
y0=8
n1=1
n2=−5
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0,
(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0,
x−7+40−5y=0
x−5y=−40+7
x−5y=−33
5y=x+33
y=x5+335
Проверка
Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.
8=75+335
8=8 — верно, ответ правильный.
Ответ
y=x5+335
Прямая в пространстве
Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3,
где (x0;y0;z0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.
Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23) и вектору направления (3;11;7).
Решение
x0=1
y0=5
z0=−23
ν1=3
ν2=11
ν3=7
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3
x−13=y−511=z−(−23)7
Проверка
Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0). Для этого подставим в него координаты этой точки:
1−13=5−511=−23−(−23)7 — верно, значит ответ правильный.
Такой вид уравнения прямой называется каноническим.
Ответ
x−13=y−511=z−(−23)7
Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!
Комментарии