Закон сохранения заряда

Формулировка и суть закона

Алгебраическая сумма зарядов, находящихся в электрически замкнутой системе, постоянна и всегда сохранятся (не изменяется) – так формулируется закон сохранения заряда. Стоит упомянуть и об определении самой электрически замкнутой системы – ею считается та, через которую не могут проникать заряды. В этой же системе не может возникнуть заряд лишь одного знака, то есть абсолютно всегда при появлении положительного заряда $q_+$ появляется и отрицательный заряд $q_-$.

Математический вид закона сохранения заряда

$q_1 + q_2 + q_3 +...+q_n=const$

Сумма всех зарядов сохраняется. При суммировании зарядов нужно учитывать их знак. К тому же все заряды никак не зависят от скорости, следовательно, они релятивистски инвариантны. Существуют достаточно простые эксперименты, а также задачи, способные это подтвердить.

Рассмотреть данный закон в действии можно в процессе решения следующих задач.

Задача 1

Есть два абсолютно одинаковых металлических шарика, заряды которых равны соответственно $3q$ и $-5q$. Какими станут их заряды после соприкосновения?

Решение

В этом конкретном примере можно использовать основную формулу сохранения заряда. Применив ее, получим следующее:

$q_1+q_2=q_{1'}+q_{2'}$

$q_1+q_2$ — сумма зарядов до соприкосновения;
$q_{1'}+q_{2'}$ — сумма зарядов после соприкосновения.
Согласно закону сохранения электрического заряда эти обе суммы должны быть равны друг другу.

Исходя из того, что шарики одинаковые, можно сказать, что после соприкосновения они обменяются зарядами так, что:

$q_{1'}=q_{2'}=q'$

Далее:

$q_{1'}+q_{2'}=q'+q'=2q' ⇒ q'= (q_{1'}+q_{2'})/2=(q_1+q_2)/2$

Берем в расчет и то, что один шарик заряжен положительно, а другой – отрицательно. Получаем:

$q'=(3q-5q)/2$

$q'= -q$

Ответ: $-q.$

Итак, после соприкосновения шаров их заряды станут $-q$.

Теперь разберем более сложный пример с шариками, висящими на нитях.

Задача 2

Два идентичных проводящих шарика подвешены на нитях, длины которых совпадают. В начальном положении они друг с другом соприкасаются (смотреть первый рисунок). Шарикам сообщают общий заряд $q$. После этого они отклоняются от вертикали на некоторый угол $\alpha$ и затем приходят в равновесное состояние. Расстояние от центра шарика до точки подвеса равно $l$, масса – $m$, сила натяжения нити – $N$. Найти заряд, который был сообщен телам $q$.

Решение

После того как шарикам сообщили заряд, они отклоняются от вертикали на некоторый угол $\alpha$, затем приходят в равновесное состояние.

Из закона сохранения заряда следует, что если шарикам сообщить общий заряд $q$, то можно записать следующее выражение:

$q=q_1+q_2$,

где $q_1$ и $q_2$ — заряды, полученные первым и вторым шариками.

Шарики одинаковые, следовательно:

$q_1=q_2$
$q={2q}_1$
$q_1=\frac{q}{2}$

Условия равновесия у шариков ничем не отличаются, поэтому можно рассмотреть только один из них. Распишем силы, приложенные к нему, затем применим второй закон Ньютона:

$m\vec{a}=0=m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F},$

$m\vec{a}=0$ поскольку шарик находится в положении равновесия.

$m$ — масса;
$\vec{a}$ — ускорение;
$\vec{g}$ – ускорение свободного падения;
$m\vec{g}$ — сила тяжести;
$\vec{N}$ — сила натяжения нити;
$\vec{F}$ — электрическая сила.

Теперь необходимо сделать проекции этого уравнения на оси $X$ и $Y$:

$X: F-N \cdot \sin(\alpha)=0 ⇒ F=N \cdot \sin(\alpha)$;

$Y : N\cdot \cos(\alpha)-mg=0 ⇒ \cos(\alpha)=(mg/N)$;

$\sin(\alpha)=\sqrt{1-(mg/N)^2}$.

Если наши объекты принять за точечные, то есть тела, размеры которых можно не учитывать ввиду их незначительности относительно расстояния между самими телами, то появляется возможность применить формулу для силы Кулона:

Закон Кулона для одинаковых зарядов

$F=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{{q_1}^2}{r^2}$

$F$ — сила Кулона;
$\varepsilon_0$ — диэлектрическая проницаемость среды;
$q_1$ — электрический заряд;
$r$ — расстояние между зарядами.

Расстояние между шариками $r$. Выразить его можно так (на основе второго рисунка):

$r=2 \cdot l \cdot \sin(\alpha)$

Полная формула силы Кулона выглядит следующим образом:

$F=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{{q_1}^2}{{4l}^2{\sin}^2\left(\alpha \right)}$

Подставим сюда $\sin(\alpha)$, получим:

$F=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{{q_1}^2}{{4l}^2\left(1- {\left(\frac{mg}{N}\right)}^2\right)}$
$F=N \cdot \sin(\alpha)$
$\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{{q_1}^2}{{4l}^2\left(1- {\left(\frac{mg}{N}\right)}^2\right)}=N\sqrt{1- {\left(\frac{mg}{N}\right)}^2}$
Отсюда находим $q_1$:
$q_1=4l\sqrt{\pi N{\varepsilon }_0{\left(1-{\left(\frac{mg}{N}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}$

Следует учесть и наше условие, записанное в формуле:

$q={2q}_1$.

То есть:

${q=2q}_1=8l\sqrt{\pi N{\varepsilon }_0{\left(1-{\left(\frac{mg}{N}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}$

Ответ: $q=8l\sqrt{\pi N{\varepsilon }_0{\left(1-{\left(\frac{mg}{N}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}.$

Немного истории

В XVIII веке было установлено, что существует два рода зарядов, которым даны определения «положительный» и «отрицательный» соответственно. Закон сохранения заряда был сформулирован Франклиным, но только 100 лет спустя Майкл Фарадей смог подтвердить и экспериментально установить, что он действителен.

Еще спустя столетие Роберт Милликен и Харви Флетчер провели эксперимент, целью которого являлось установление значения элементарного электрического заряда (заряда электрона). Опыт проводился при помощи двух металлических пластин и наэлектризованной капельки масла. Суть заключалась в том, что если между этими пластинами создать электрическое поле, то капелька прекратит свое падение и будет «парить» в воздухе. Через два года усердной работы Миллер и Флетчер доказали, что электрический заряд – дискретная величина. Подобное утверждение было сделано на основе того, что все результаты, получившиеся в ходе эксперимента, оказались кратными некоторой величине, приблизительно равной $e=1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл. Это и есть заряд электрона.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по физике!

Тест по теме “Закон сохранения заряда”