Комплексная функция, используемая в квантовой механике для описания состояния квантовомеханической системы.
Волновая функция связана с плотностью вероятности нахождения частицы в некоторой области пространства в некоторый момент времени следующим образом: вероятность нахождения частицы в некоторой точке пропорциональна квадрату модуля волновой функции в ней.
Волновая функция является функцией от всех степеней свободы этой частицы, которым, в свою очередь, соответствует некоторый набор коммутирующих квантовых переменных.
В отличие от классического описания, в котором частицы рассматриваются как материальные точки, имеющие определенную координату, а их движение полностью описывается траекторией и скоростью, волна, когда ее описывает волновая функция, не локализована в одной точке, а в общем виде занимает все бесконечное пространство (хотя большая ее часть, как правило, сосредоточена в некоторой области). Таким образом, при таком описании понятие траектории не имеет смысла, а движение описывается в терминах потока энергии и импульса.
С волновой природой частиц связаны такие явления, как дифракция и интерференция массивных частиц, квантование уровней энергии гармонического осциллятора, принцип неопределенности и другие.
Описание квантовой системы с помощью функции, которая бы описывала ее волновые свойства предложил Эрвин Шредингер.
Свойства волновой функции
Поскольку волновая функция является комплексной, ее можно выразить в виде
В таком случае R является модулем функции, называют фазовым множителем.
Из этой записи видно, что при умножении волновой функции на некоторое число , значения амплитуд вероятности, что ей отвечают, не изменятся. Такое умножение называется глобальным фазовым поворотом, или глобальным калибровочным преобразованием, а симметрия относительно такого преобразования (она относится к группе симметрии U (1)) является одним из видов калибровочной инвариантности.
Из физических соображений, на -функцию накладываются следующие ограничения: она должна быть однозначной, непрерывной и квадратично-интегрированной (последнее условие означает существование интеграла от квадрата функции).
Также, поскольку частица не может бесследно исчезнуть, вероятность нахождения ее в бесконечно большом пространстве будет равна единице, то есть является достоверной:
Это условие называется условием нормирования волновой функции. Она выполняется в практически во всех реальных случаях, однако в некоторых важных теоретических моделях, таких как модель частицы, движущейся при отсутствии внешних полей, ψ-функция не приходит в бесконечности, а потому нормирование не представляется возможным. Такие состояния называют делокализованными.
Обычно при выводе волновой функции из некоторых теоретических соображений, -функция оказывается ненормированной, и этот интеграл оказывается равным некоторому числу n. В таком случае, для нормирования достаточно разделить -функцию на n.
Уравнение Шредингера
Основным уравнением квантовой механики, которое используется для нахождения волновой функции в конкретных условиях является уравнение Шредингера:
где - потенциальная энергия, а - лапласиан.
Для нахождения -функции, уравнение сначала решают в общем виде для заданного U, а затем, подставляя граничные условия, получают частное решение.
Поскольку уравнение Шредингера является линейным и однородным дифференциальным уравнением, оно обладает важным свойством: если оно имеет несколько решений, , , и т.д., то любая линейная комбинация этих решений также будет решением.
Это свойство называется принципом суперпозиции. Его физическая интерпретация заключается в том, что частица имеет некую вероятность нахождения в любом из возможных для нее состояний.
Практически важным вариантом уравнения Шредингера является случай стационарного поля, то есть такого, когда U не зависит от времени. В таком поле волновая функция тоже является стационарной. Кроме того, в этом случае полная механическая энергия частицы остается постоянной.
Уравнение Шредингера является нерелятивистским и не учитывает спин частиц.
Для таких случаев используются уравнения Клейна-Гордона и уравнение Паули для частиц со спином.
Заказать статью по физике у экспертов биржи Студворк!
Комментарии