Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Об уравнениях Максвелла мы говорили в предыдущей статье. Напомним, что уравнения Максвелла — это четыре уравнения, названные в честь других ученых, которые собраны в необходимую и достаточную для объяснения электромагнитной индукции систему. Из нее, например, выводится закон сохранения заряда:

$Sj \cdot ds=-\frac{dρ}{dt}$

Частные случаи уравнений Максвелла

Чтобы понять, чем отличаются максвелловские уравнения для произвольных полей, нужно понять, какие у этих уравнений бывают частные случаи. А их как минимум три.

Статические поля

Электромагнитное поле неподвижно. В этом случае система максвелловских уравнений разбивается на две системы по два более простых уравнения, потому как поток частиц нулевой и изменений во времени нет. Поля генерируются независимо друг от друга.

Стационарные поля

В данном случае ток есть, но он постоянный. Независимость уравнений исчезает, но упрощение происходит за счет $\frac{d}{dt}=0$, что верно и для предыдущего случая.

Быстропеременные поля

Если поля гармонически колеблются, упрощение происходит за счет неочевидного метода комплексных амплитуд. В этом случае из уравнений исчезает одна из неизвестных: время. Это возможно именно за счет гармоничности колебаний системы. На практике неочевидный прием здорово упрощает уравнения и их решение.

Отличие колебаний в вакууме и в веществе

Вакуум — это такое метавещество, которое дает волнам максимальную скорость распространения. Это постоянная:

$c=2,99792458 \cdot 10^8$ м/с

Она широко используется в физике. Однако вопреки ожиданиям в формуле скорости распространения волны в веществе ее нет. Вместо этого в формуле присутствуют две другие постоянные: электрическая и магнитная.

$ε_0 = 8,85419·10^{–12}$ Ф/м
$μ_0 = 1,25664·10^{–6}$ Гн/м

Сама же формула скорости выглядит так:

$v=\frac {1}{\sqrt{εε_0μμ_0}}$, где $ε$ и $μ$-диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества

На самом деле скорость волны в вакууме связана со скоростью волны в веществе: просто ε и μ приняты за единицу, скорость в вакууме имеет предельное допустимое значение. В явном виде скорость волны в уравнениях Максвелла не присутствует, но некоторые значения, использующиеся в них, связаны друг с другом именно через характеристику среды.

Максвелловские уравнения в интегралах

Эту запись уравнений Максвелла мы рассматривали в предыдущей статье, поэтому сейчас лишь кратко повторим ее:

Закон Гаусса:

$\oint_sD \cdot ds=Q$

Здесь $s$ —поверхность, ограничивающая объем $v$, а $Q$ — это заряд, заключенный в $v$:

$Q=\int_vq \cdot dv$

Закон Гаусса для магнитного поля:

$\oint_sB \cdot ds=0$

Закон индукции Фарадея:

$\oint E \cdot dl=-\frac{d}{dt}\int_sB \cdot ds$

Теорема о циркуляции магнитного поля:

\oint_l H \cdot dl=I+\frea{d}{dt}\int_sD \cdot ds

Под I понимается электрический ток через s:

$I=\int_s \cdot ds$

Максвелловские уравнения в дифференциалах

Дифференциальная форма выглядит компактнее. Использовать ту или иную форму стоит в зависимости от задачи, можно даже записать дифференциально-интегральную систему уравнений, потому что каждое уравнение переводилось из одной в другую отдельно, и они тождественно равны друг другу.

Закон Гаусса:

$∇\cdot D=ρ$

Закон Гаусса для магнитного поля:

$∇ \cdot B=0$

Закон индукции Фарадея:

$∇×E=-\frac{∂B}{∂t}$

Теорема о циркуляции магнитного поля:

$∇×H=j+\frac{∂D}{∂t}$

Для тех, кто не помнит, что значит загадочный треугольник $∇$ — это оператор набла, в данном случае $∇×$ — ротор, а $∇\cdot$ — дивергенция.

Связь уравнений Максвелла и среды

Для обеспечения полной картины электромагнитного поля существуют так называемые материальные уравнения. Они связывают попарно поток и циркуляцию электромагнитного поля.

В частном случае слабых полей эти уравнения линейны.

$D=ε_0εE$

$B=μ_0μH$

Для прочих случаев уравнения обретают двойной интеграл и дополнительные переменные. Обычно при изучении уравнений Максвелла используются случаи линейной зависимости.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по физике по низкой цене!

Тест по теме «Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме»