Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Содержание

  1. 1. Частные случаи уравнений Максвелла
    1. 1.1. Статические поля
    2. 1.2. Стационарные поля
    3. 1.3. Быстропеременные поля
  2. 2. Отличие колебаний в вакууме и в веществе
  3. 3. Максвелловские уравнения в интегралах
  4. 4. Максвелловские уравнения в дифференциалах
  5. 5. Связь уравнений Максвелла и среды
  6. 6. Тест по теме «Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме»
Тест: 5 вопросов
1. Что такое статическое поле?
электрическое поле неподвижно
магнитное поле неподвижно
электромагнитное поле неподвижно
все перечисленные варианты верны
2. Что такое стационарные поля?
поля, в которых отсутствует ток
поля, в которых есть постоянный ток
поля, в которых есть переменный ток
поля, в которых есть постоянный и переменный ток
3. Если поля гармонически колеблются, упрощение происходит за счет неочевидного метода комплексных амплитуд. Для какого поля характерно данное пояснение?
стационарного
статистического
переменного
быстропеременного
4. Что связывают материальные уравнения?
попарно поток и циркуляцию электромагнитного поля
только поток
только циркуляцию электромагнитного поля
только циркуляцию магнитного поля
5.

Чем больше момент инерции, тем

сложнее для объекта получить угловое ускорение

легче для объекта получить угловое ускорение

сложнее для объекта получить ускорение

легче для объекта получить ускорение

Об уравнениях Максвелла мы говорили в предыдущей статье. Напомним, что уравнения Максвелла — это четыре уравнения, названные в честь других ученых, которые собраны в необходимую и достаточную для объяснения электромагнитной индукции систему. Из нее, например, выводится закон сохранения заряда:

Sjds=dρdtSj \cdot ds=-\frac{dρ}{dt}

Частные случаи уравнений Максвелла

Чтобы понять, чем отличаются максвелловские уравнения для произвольных полей, нужно понять, какие у этих уравнений бывают частные случаи. А их как минимум три.

Статические поля

Электромагнитное поле неподвижно. В этом случае система максвелловских уравнений разбивается на две системы по два более простых уравнения, потому как поток частиц нулевой и изменений во времени нет. Поля генерируются независимо друг от друга.

Стационарные поля

В данном случае ток есть, но он постоянный. Независимость уравнений исчезает, но упрощение происходит за счет ddt=0\frac{d}{dt}=0, что верно и для предыдущего случая.

Быстропеременные поля

Если поля гармонически колеблются, упрощение происходит за счет неочевидного метода комплексных амплитуд. В этом случае из уравнений исчезает одна из неизвестных: время. Это возможно именно за счет гармоничности колебаний системы. На практике неочевидный прием здорово упрощает уравнения и их решение.

Отличие колебаний в вакууме и в веществе

Вакуум — это такое метавещество, которое дает волнам максимальную скорость распространения. Это постоянная:

c=2,99792458108c=2,99792458 \cdot 10^8 м/с

Она широко используется в физике. Однако вопреки ожиданиям в формуле скорости распространения волны в веществе ее нет. Вместо этого в формуле присутствуют две другие постоянные: электрическая и магнитная.

ε0=8,854191012ε_0 = 8,85419·10^{–12} Ф/м
μ0=1,25664106μ_0 = 1,25664·10^{–6} Гн/м

Сама же формула скорости выглядит так:

v=1εε0μμ0v=\frac {1}{\sqrt{εε_0μμ_0}}, где εε и μμ-диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества

На самом деле скорость волны в вакууме связана со скоростью волны в веществе: просто ε и μ приняты за единицу, скорость в вакууме имеет предельное допустимое значение. В явном виде скорость волны в уравнениях Максвелла не присутствует, но некоторые значения, использующиеся в них, связаны друг с другом именно через характеристику среды.

Максвелловские уравнения в интегралах

Эту запись уравнений Максвелла мы рассматривали в предыдущей статье, поэтому сейчас лишь кратко повторим ее:

Закон Гаусса:

sDds=Q\oint_sD \cdot ds=Q

Здесь ss —поверхность, ограничивающая объем vv, а QQ — это заряд, заключенный в vv:

Q=vqdvQ=\int_vq \cdot dv

Закон Гаусса для магнитного поля:

sBds=0\oint_sB \cdot ds=0

Закон индукции Фарадея:

Edl=ddtsBds\oint E \cdot dl=-\frac{d}{dt}\int_sB \cdot ds

Теорема о циркуляции магнитного поля:

\oint_l H \cdot dl=I+\frea{d}{dt}\int_sD \cdot ds

Под I понимается электрический ток через s:

I=sdsI=\int_s \cdot ds

Максвелловские уравнения в дифференциалах

Дифференциальная форма выглядит компактнее. Использовать ту или иную форму стоит в зависимости от задачи, можно даже записать дифференциально-интегральную систему уравнений, потому что каждое уравнение переводилось из одной в другую отдельно, и они тождественно равны друг другу.

Закон Гаусса:

D=ρ∇\cdot D=ρ

Закон Гаусса для магнитного поля:

B=0∇ \cdot B=0

Закон индукции Фарадея:

×E=Bt∇×E=-\frac{∂B}{∂t}

Теорема о циркуляции магнитного поля:

×H=j+Dt∇×H=j+\frac{∂D}{∂t}

Для тех, кто не помнит, что значит загадочный треугольник — это оператор набла, в данном случае ×∇× — ротор, а ∇\cdot — дивергенция.

Связь уравнений Максвелла и среды

Для обеспечения полной картины электромагнитного поля существуют так называемые материальные уравнения. Они связывают попарно поток и циркуляцию электромагнитного поля.

В частном случае слабых полей эти уравнения линейны.

D=ε0εED=ε_0εE

B=μ0μHB=μ_0μH

Для прочих случаев уравнения обретают двойной интеграл и дополнительные переменные. Обычно при изучении уравнений Максвелла используются случаи линейной зависимости.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по физике по низкой цене!

Тест по теме «Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир