Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками

Содержание

  1. 1. Почему спектр дискретный?
  2. 2. Зачем нужны бесконечные стенки
  3. 3. Причем тут волны?
  4. 4. Интересные события внутри потенциальной ямы
  5. 5. Зачем нужна эта модель
  6. 6. Тест по теме «Поведение частицы»

Как вы уже знаете, покоиться частица, подобно мячику в сосуде, не может, так как ее энергия больше нуля. В противном случае нарушается соотношение неопределенностей, при котором произведение импульса на массу должно быть больше постоянной Планка – главной постоянной в квантовой механике.

Частица будет двигаться, и в случае свободного движения ее энергия будет абсолютно любой. Этот случай мы рассматривать не будем. Мы ограничим частицу и посмотрим на спектр ее состояний, который станет дискретным.

Почему спектр дискретный?

На этот вопрос отвечает уравнение Шредингера – одно из основных уравнений квантовой механики.

Оно описывает изменение состояния частиц, и решения этого дифференциального уравнения соответствуют требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции только при дискретных значениях энергии.

Потому и у частицы могут быть только определенные фиксированные показатели энергии. Однако именно это явление демонстрирует физическая модель, которую мы рассматриваем, так что ниже будет дано более подробное объяснение.

Зачем нужны бесконечные стенки

Чтобы спектр энергии частицы перестал быть непрерывным, ее перемещение нужно ограничить. Один из примеров такого ограничения – движение электрона вокруг атома водорода (в его кулоновском поле). Он может переходить на конечное число орбит, но не может двигаться где-то не по этим орбитам.

Однако физической моделью ограниченного движения частицы принято считать именно движение частицы в потенциальной яме: в ней потенциальная энергия на дне равна нулю, а в стенках – бесконечности.

Бесконечные стенки не дают выйти в неограниченное пространство, но в то же время не ограничивают количество энергетических уровней частицы.

Как вы мыяснили выше, покоиться частица тоже не может. Вот она и бьется о стенки ямы, создавая видимость двух движущихся друг на друга волн – именно так смотрит на этот процесс физик с волновой точки зрения.

Причем тут волны?

В основе квантовой механики лежит корпускулярно-волновой дуализм – способность материальных объектов вести себя одновременно как частица и как волна. Вообще, дуализм свойственен всем объектам, но в классической механике он не рассматривается, потому что волновые свойства макроскопических объектов почти не заметны, чего не скажешь о микроскопических частицах. При рассмотрении физической модели частицы в потенциальной яме важно помнить о волновых свойствах частиц.

Напомним, что модуль волновой функции, взятый в квадрат, представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в определенной точке.

К слову, точно определить положение частицы нельзя, а если даже очень постараться, то выйдет, что импульс частицы бесконечен, и совершенно непонятно, где она будет в следующий момент. Вот и остается вычислять вероятность.

Интересные события внутри потенциальной ямы

Любопытно, что в бесконечной яме, попеременно отталкиваясь от стенок, частица создает две бегущие навстречу друг другу волны, да не простые, а стационарные. Стационарному состоянию бегущих навстречу друг другу волн соответствуют две стоячие волны, называющиеся волнами де Бройля – они как бы двигаются, но, перекрываясь, стоят. Такую же картину можно получить, если пустить по закрепленной струне две противоположно направленные волны, но для этого нужно, чтобы длины этих волн соответствовали соотношению:

L=nλ2,(n=1,2,3),L=n\cdot \frac{λ}{2}, (n=1,2,3…),

где LL - расстояние между стенками.

Для волн в нашей бесконечной яме выполняется точно такое же соотношение. Что это значит? Что спектр длины волны частицы уже дискретен (квантуется). Вспомним, что длина волны однозначно связана с импульсом:

λ=hp,λ= \frac{h}{p},

где hh - постоянная Планка

А из этого следует, что и энергия частицы может принимать только определенные значения, и ее спектр – дискретен.

Зачем нужна эта модель

Волны де Бройля, возникающие в модели, – это те самые волновые функции, на которых держится квантовая механика. Они описывают стационарные состояния объектов, которые мы и рассмотрели. Модель позволяет доказать, что энергия частицы в ограниченном пространстве действительно квантуется. Отталкиваясь от этого, можно строить новые теории в рамках квантовой механики.

Не знаете, сколько стоит статья по физике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме «Поведение частицы»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир