Пространственное распределение электрона в атоме водорода

Атом водорода — прекрасная модель для познания тонкостей работы квантовых систем. Напомним, это элемент с одним электроном. Именно потому он так часто используется в качестве примера: один-единственный электрон крутится по орбите, и для него легче всего показать, как работают уравнение Шрёдингера и квантовые числа.

Стационарное уравнение Шрёдингера для атома водорода

Чтобы успешно вычислить уравнение Шрёдингера, нужно сначала вычислить потенциальную функцию для данной системы. Потенциальная функция для неподвижного ядра с зарядом z+ и электроном будет выглядеть так:

$U(r)=-\frac{e^2}{r}$

Подставив это в уравнение Шрёдингера, получим:

$∆ψ+\frac{2m}{ћ^2}(E+\frac{e^2}{r})ψ=0$

Больше всего в этом уравнении волнует функция, которая так и называется — волновая. $∆$ — оператор Лапласа, и в данном случае его удобнее всего записать в сферической системе координат. Это позволит разделить одну функцию от трех неизвестных на три функции, каждая из которых будет иметь одну неизвестную. Волновая функция станет произведением этих трех:

$ψ(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)$

Напомним, что три переменных, от которых зависит волновая функция в данном случае, — это радиус-вектор и два угла, как и положено в сферической системе координат.

Такое решение позволит произвести парочку замен переменных, еще несколько математических приемов, и (если при этом не ошибиться в знаках) получить систему двух уравнений:

$\begin{cases} Φ=A \cdot \sin⁡(mlφ)\\ Φ=A \cdot \cos⁡(mlφ) \end{cases}$

Из него находится первое квантовое число — $ml$. Оно называется магнитным квантовым числом. Осталось найти еще два квантовых числа.

Решая уравнение Шрёдингера далее, мы можем получить систему двух новых уравнений:

$\begin{cases} \frac {m_l^2}{sin_{2θ}}-\frac {1}{θ\cdot \sinθ} \frac{∂}{∂θ}(sinθ∂θ∂θ)=β \\ \frac{1}{R} \frac {∂}{∂r} (r^2\frac{∂R}{∂r})+\frac{2mr^2}{ћ^2}(E+\frac{e^2}{r})=β \end{cases}$

В любом случае результатом решения этих уравнений будут основное квантовое число (n) и квантовое число углового момента (l) — два из трех квантовых чисел, которые полностью определяют электрон. Точнее, определяли до того времени, пока ученые не нашли ещё кое-что…

Спин электрона

До 1922 года считалось, что электрон движется только поступательно — вокруг ядра. Однако Штерн и Гирло нашли у электрона орбитальный механический момент импульса. Точнее, они обнаружили у пучка атома водорода странное расщепление, а уже Гауреллий и Уленбек предположили наличие импульса. Более того, они положили этот импульс еще одним квантовым числом, которое называется спиновым, а из него вывели магнитное спиновое число $ms$. Так квантовых чисел у электрона стало четыре.

Неопределенность положения частицы

Невозможность достоверно вычислить положение частицы волнует не только студентов, изучающих курс квантовой механики, но и самих ученых, его придумавших. В частности, принято считать, что положение частицы не определено, покуда за ней не ведется наблюдения. Как только появляется наблюдатель, волновая функция получает точные значения. И так до тех пор, пока наблюдатель не исчезнет.

Даже если принять эту теорию, непонятно, каким образом микромир переходит в макромир. А точнее — в какой момент квантовая частица теряет свою неопределенность? Чтобы подчеркнуть недостаточность существующих законов квантовой механики для получения ответа на этот вопрос, Шрёдингер сочинил известный опыт про кота, который так и остался в памяти человечества как «кот Шрёдингера». Опыт мысленный, так как реально построить «адскую машину», как ее называл ученый, которая убивает или не убивает кота, невозможно. Все, что есть от квантовой механики в этом эксперименте — атом, который с равной вероятностью может распасться и не распасться, и именно он запускает адскую машину. Пси-функция этого атома не даст ответа на вопрос, распадется ли атом.

Этот несложный эксперимент не получил достойной интерпретации до сих пор, поскольку рамки квантовой неопределенности пока не уточнены. Это значит, что квантовой механике еще есть куда стремиться. Возможно, через сотню лет мы будем достоверно знать, что квантовой неопределенности вообще не существует.

Жизнь за пределами водорода

Работать с одним электроном хорошо, но, к сожалению, мир не состоит из простых атомов. У атомов с большим количеством электронов обнаруживаются новые взаимосвязи. И главное, что нужно запомнить: в одном атоме не могут существовать электроны, у которых совпадают все квантовые числа. Это называется принципом Паула.

Вам нужно срочно заказать статью по физике для публикации? Обратитесь за помощью к нашим экспертам!

Тест по теме “распределение электрона в атоме водорода”