Нестационарное уравнение Шредингера

До сих пор мы пытались определить характеристики частицы в какой-то определенный момент. Мы полагали, что она находится, но не движется. Все характеристики частицы — квантовые числа — известны на определенный момент времени, и мы можем вычислить волновую функцию, которая покажет вероятности, с которой частица находится в той или иной точке.

Этого недостаточно.

Частицы по принципу соотношения неопределенностей не могут покоиться.

И если мы можем определить все характеристики частицы в один определенный момент, то надо взять бесконечное количество бесконечно приближенных друг к другу моментов, чтобы понять характер перемещения частицы. Поможет нам в этом, конечно, дифференциал.

Дифференцировать мы будем не что-нибудь, а волновую функцию. Напомним, она зависит от координатного базисного вектора и времени. Запишем уравнение Шредингера для нестационарных систем:

$-\frac{ћ^2}{m}∇^2ψ+Uψ=iћ\frac{∂ψ}{∂t}$

Мы видим в этом уравнении:

• массу частицы $m$;
• мнимую единицу $i$;
• оператор Лапласа $∇^2=∆=\frac{∂^2}{∂x^2}+{∂^2}{∂y^2}+{∂^2}{∂z^2}$;
• потенциальную энергию частицы $U$;
• постоянную Планка $ћ = 1,05^4 \cdot 10^{-43} Дж*с$.

В этом уравнении именно вид потенциальной энергии определяет вид $ψ$-функции, а саму потенциальную энергию определяет характер действующих на частицу сил. Однако при решении этого уравнения чаще всего в первую очередь вычисляется именно пси-функция, а не потенциальная энергия. Это связано с тем, что для стационарных систем потенциальную энергию еще можно вывести, а вот в нестационарных остается только дифференцировать по времени.

Уравнение Шредингера имеет решение далеко не всегда. К нему применимы как минимум два требования для дифференциальных уравнений, а если точнее, то они применимы к дифференцируемой функции — в нашем случае волновой:

• пси-функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной;
• ее частные производные первого порядка $\frac{∂ψ}{∂x},$ $\frac{∂ψ}{∂y},$ $\frac{∂ψ}{∂z},$ $\frac{∂ψ}{∂t}$ также должны быть непрерывны.

Третье условие, применимое к $ψ$-функции: интеграл от $|ψ^2|$ должен быть конечным.

Это условие введено, чтобы быть уверенным, что частица вообще есть где-то в пространстве.

Как это решается?

Простых способов решения нестационарного уравнения Шредингера нет. Для его решения используются допущения и численные методы, которые позволяют получить характеристику движения частицы во времени.

Как правило, опираются эти методы на вероятностную характеристику, т.е. $|ψ^2|$, и выбрав и ограничив область (которая существует по третьему условию решаемости уравнения Шредингера), физики задают другие граничные условия и вычисляют уравнение для нескольких значений времени $t$.

Несмотря на сложность вычислений, решение нестационарного уравнения Шредингера — важная задача, которая решается на благо исследования закономерностей микромира. Любопытно, что само уравнение не выводится из других. Ученый просто подобрал уравнение под полученные экспериментальные данные, и, судя по тому, что его не только не опровергли, но и активно изучают, оно действительно хорошо описывает квантовые частицы.

Минус уравнения Шредингера в том, что, описывая процесс, оно не дает ответа на возникающие вопросы и не может ничего предсказать. Тот же мысленный опыт с котом дает понять, что в квантовой механике много вопросов без ответов. Тем не менее если можно хотя бы описать происходящие процессы, этой возможностью не стоит пренебрегать.

Вы можете заказать написание статьи по физике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Нестационарное уравнение Шредингера»