Микроканоническое распределение Гиббса

Распределение — это всегда отсылка к теории вероятностей. Каноническое распределение Гиббса имеет отношение к равновесной термодинамической системе, но микроканоническое служит для описания микросистем.

Немного о каноническом распределении

Каноническое гиббсово распределение используется для описания состояния равновесия некоторой физической системы, например, тела. При этом систему полностью описывают $6*N$ переменных, где $N$ — количество частиц в системе. Эти переменные — импульсы и координаты частиц. Пространство, заданное таким образом, называется фазовым, и в нем каждая точка соответствует определенному состоянию системы.

В каноническом распределении частицы системы способны обмениваться энергией с окружением, то естье система не замкнута.

Формулы для неизолированной системы намного сложнее, чем для изолированной микроканонической, которую мы рассмотрим ниже. В частности, в вычислении канонического распределения участвует статистический интеграл.

Переход к микроканоническому ансамблю

Возьмем фазовое пространство и рассмотрим его для микросистем.

Сразу оговоримся, что обязательное условие микроканонического ансамбля — замкнутая микросистема, и это идеальные несуществующие условия. Это основное отличие канонического распределения и микроканонического.

Тем не менее идеальная система может стать моделью.

Так как обмена энергией с окружающей средой не существует, ее количество в системе статично. Предполагается, что любое состояние для такой квантовой системы равновероятно, то есть, система может принять любое состояние с одинаковой вероятностью.

Функция микроканонического распределения

Функция распределения выглядит так:

$w(E_k)=Ω^{-1}(E,N,V)$ при $E≤E_k≤E+∆E$
$0$ вне этого слоя

При этом $∆E$ — это погрешность при условии $∆E ≪ E$, а $Ek$ — энергия системы в определенном состоянии. $Ω(E,N,V)$ — статистический вес, то есть, число различных квантовых состояний с энергией $E_k$. В этом и смысл распределения, который указан выше, — равновероятность. Статистический вес определяется из нормировочного условия:

$[\sum \limits_kw(E_k)=1]$

Кроме того, он равен числу квантовых состояний в слое $[E, E + ∆E]$.

Почему значение неточное

Чтобы ответить на вопрос о наличии $∆E$, надо вспомнить принцип неопределенности соотношений.

Мы не можем знать точное положение частицы и ее импульс, только волновую функцию.

Соответственно, и точную энергию системы тоже узнать не получится. Однако $∆E$ обычно выбирается крайне малой.

Применение микроканонического ансамбля на практике

На практике вычисление целого ансамбля — процедура трудоемкая. Нужно вычислить распределение всех квантовых уровней частиц — это достаточно много и долго, и все только для вычисления статистического веса. Оказывается также, что изолированную микроканоническую систему рассчитать сложнее, чем каноническую, обменивающуюся энергией со средой (при условии постоянной температуры).

Микроканоническое распределение, скорее, считается постулатом статистической физики, чем реальной системой, применимой для вычисления.

Тем не менее такую систему можно смоделировать методом Монте-Карло. Он же используется для вычисления канонического распределения.

На Студворк вы можете заказать статью по физике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Микроканоническое распределение Гиббса»