Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы

Равномерное распределение по степеням свободы используется на молекулярном уровне. Для макрообъектов закон Больцмана, рассмотренный ниже, не используется.

Значение в термодинамике

Вообще говоря, распределение по степеням свободы действительно изначально использовалось в термодинамике.

Закон Больцмана делит общую среднюю энергию молекулы по степеням свободы и используется для систем, находящихся в равновесии в понятиях термодинамики.

Считаются средняя поступательная, вращательная и колебательная степени свободы, и для среднего значения энергии степени свободы молекулы выведены формулы. Согласно закону Больцмана, средняя кинетическая энергия поступательной и вращательной степени свободы равна:

$E=\frac {kT}{2}$, где $k$– постоянная Больцмана,

а средняя колебательная вдвое больше:

$E=kT$.

Увеличение вдвое объясняется тем, что колебательная степень свободы включает в себя полную механическую энергию, а не только кинетическую.

Обратите внимание на слово «средняя»: оно повторяется в предыдущем абзаце пять раз не просто так. Это значит, что энергия какой-то отдельной молекулы может быть распределена совершенно по другому принципу. Но при большом количестве молекул соотношение сохраняется.

Зачем вообще нужно было определять это среднее?

Оно позволяет понять, какой примерный вклад вносит каждая степень свободы в общее количество тепла, вместимое системой. Это константа, и она равна 12k.

В термодинамике этот закон достаточно прост и красив, однако обратившись к квантовой механике, мы можем выяснить, что там все далеко не так просто. Она, правда, действует только в определенных пределах, но молекулы, которые не соответствуют закону равномерного распределения, требуют отдельного изучения.

Равномерное распределение в квантовой механике

В квантовой механике энергия квантуется, то есть становится дискретной. Соотношение из закона Больцмана больше не работает, значения энергии принимают строго определенные значения, соответственно, меняются формулы. Теперь энергия колебания молекулы имеет формулу:

$E_{кол}(n)=(\frac{1}{2}+n)hv$, где $n$ – квантовое число

Сопутствующие этой формуле понятия — это $E_{кол}(0)$, называемая еще энергией нулевых колебаний (наименьших возможных по принципу неопределенности), а $∆E_{кол}=hv$, что легко вывести из самой формулы, поставив $n$ и $n — 1$ и вычтя одно из другого.

Как ни странно, средняя колебательная энергия определяется легче всего. Поступательная и вращательная имеют разные формулы для одноатомной и двухатомной молекулы.

С увеличением количества атомов в молекуле уменьшается и температурный диапазон, в котором действуют квантовые законы. При превышении или занижении температуры начинает действовать Больцмановский закон.

Итак, поступательная и вращательная степени свободы и их энергия рассчитывается отдельно. Для одноатомной молекулы:

$E_п=\frac{3}{2}k$

$E_{вр}=\frac{5}{2}k$

У двухатомной молекулы формулы энергии такие же, но с другими числами, притом эти числа различаются для упругой связи между атомами и жесткой. Для жесткой связи:

$E_п=\frac{5}{2}k$

$E_{вр}=\frac{7}{2}k$

Для упругой:

$E_п=\frac{7}{2}k$

$E_{вр}=\frac{9}{2}k$

Одноатомные газы практически нереально вывести за пределы области квантующейся энергии, а вот у двухатомных предел — от 100 до 1000 Кельвин, после этого они начинают вести себя как молекулы с непрерывной энергией. Таким образом термодинамика переходит в квантовую механику и обратно.

Статья по физике на заказ от проверенных исполнителей!

Тест по теме «Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы»