Уравнение Клапейрона-Менделеева

На практике часто встречаются такие изменения состояния газа, когда одновременно изменяются все три параметра – объем $V$, давление $p$ и температура $T$. В таких случаях зависимость между параметрами определяется уравнением состояния газа.

Уравнение Клапейрона

Рассмотрим процесс, в результате которого газ перешел из нормального состояния с параметрами $V_0$, $p_0$, $T_0$ в состояние с другими параметрами $V_1$, $p_1$, $T_1$.

Такой переход от начального к конечному состоянию газа можно осуществить с помощью двух известных процессов (например, сначала изобарического, а затем изотермического) по схеме:

$I.{{V}_{0}},{{p}_{0}},{{T}_{0}};{V}',{{p}_{0}},T;{V}'={{V}_{0}}\frac{T}{{{T}_{0}}}$

$II.{V}',{{p}_{0}},T;V,p,T;{{p}_{0}}{V}'=pV$

Исключив из двух полученных уравнений объем $V'$ для промежуточного состояния газа, получим

$\frac{pV}{T}=\frac{{{p}_{0}}{{V}_{0}}}{{{T}_{0}}}$

то есть получим уравнение:

$pV = ВТ$.

Это уравнение вывел французский ученый Б. П. Э. Клапейрон в 1834 году. Постоянная $B$ в нем – постоянная зависимости от природы газа и его количества. Эту постоянную, рассчитанную для единицы массы газа, называют удельной газовой постоянной $B_0$.

Пример 1.

В качестве примера вычислим удельный газовую постоянную для воздуха. Объем 1 кг воздуха – удельный объем воздуха в нормальных условиях (давление 1,013 · 105 Па и температура 273,15 К)

${{V}_{0}}=\frac{1}{{{\rho }_{0}}}=\frac{1}{1,293}(\frac{{{м}^{3}}}{кг})$

Отсюда:

${{B}_{0}}=\frac{{{p}_{0}}{{V}_{0}}}{{{T}_{0}}}=\frac{{{p}_{0}}{{V}_{0}}}{273}=\frac{1,013\cdot {{10}^{5}}}{1,293\cdot 273}=287,1(\frac{Дж}{кг\cdot К})$

Аналогично вычислено, что удельная газовая постоянная для водорода равна 4125, для кислорода – 295,7; для азота – 296,7 Дж / (кг · К) и т. д.

Преобразования Менделеева

В 1874 г. русский химик Д. И. Менделеев, воспользовавшись законом Авогадро, предоставил уравнение Клапейрона в более удобном для использования виде. При этом оказалось целесообразным рассчитывать постоянную для газов, взятых в количестве 1 моль или 1 кмоль:

${{R}_{m}}=\frac{{{p}_{0}}{{V}_{0m}}}{{{T}_{0}}}=\frac{1,013\cdot {{10}^{5}}\cdot 0,0224}{273}=8,31(\frac{Дж}{моль\cdot K})$

Постоянную $R_m$ (или просто $R$) называют универсальной газовой постоянной. Уравнение состояния в расчете на 1 моль идеального газа имеет вид, аналогичный уравнению Клапейрона:

$pV={{R}_{m}}T$

В таком виде уравнения состояния идеального газа называют уравнением Клапейрона-Менделеева.

Кроме единицы количества вещества – моль – разрешается применять кратные и дольные от ее величины. В пересчете на кмоль $R$ составит:

$R=\frac{1,013\cdot {{10}^{5}}\cdot 22,4}{273}=8,31\cdot {{10}^{3}}(\frac{Дж}{кмоль\cdot K})$

В расчете на 1 кмоль идеального газа уравнение записывают так:
$pV = RT$,

а для любой массы $m$ – так:

$pV=\frac{m}{\mu }RT$

где $μ$ – масса, которую имеет кмоль газа.

Для удобства расчетов преимущественно пользуются именно этой формой уравнения.

По данному уравнению легко находим зависимость плотности газа от давления и температуры, а именно:

$\frac{m}{V}=\frac{\mu p}{RT}$,

$\rho =\frac{\mu p}{RT}$

Таковы в общем виде эмпирические закономерности в свойствах идеального газа.

Физическая суть постоянной

Для выяснения физической сути постоянной $R$ представим 1 кмоль газа под поршнем в некоем цилиндре:

При этом давление в нем составляет $р$, температура – $Т$, а площадь поршня $S$.

Повысим температуру газа внутри цилиндра от $Т$ до ($Т + 1 К$). Газ расширяется и выполняет работу, поднимая поршень на высоту $h$. Эта работа составит:

$А = pSh$,

но $Sh = ΔV$ – прирост объема газа при расширении;
поэтому $А = pΔV$.

Данное выражение определяет работу газа в изобарическом процессе.

Применив уравнение Клапейрона-Менделеева к начальному и конечному состояниям газа, получим:

$pV=RT;p{{V}_{1}}=R(T+1K)$

Отняв от второго уравнения первое, получим:

$p({{V}_{1}}-V)=R;R=p\Delta V$

Сопоставим данное равенство с уравнением работы по подъему и найдем, что $R = А$, то есть универсальная газовая постоянная численно равна работе расширения одного кмоль газа при изобарическом нагревании на $1 К$.

Научная статья по физике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме: “Уравнение Клапейрона-Менделеева”