Теплопроводность

Теплопроводность

Процесс передачи теплоты от слоя с высокой температурой к слою с низкой температурой.

В газах при таких условиях может возникать также явление конвекции – передачи теплоты потоками газа.

Теплопроводность идеального газа

Чтобы продемонстрировать теплопроводность идеального газа, достаточно взять газ в цилиндрическом сосуде с изоляционными стенками, но теплопроводными основами и нагревать газ сверху.

При этом каждый нижний слой газа будет иметь более низкую температуру, но соответственно большую плотность. Поэтому конвекционные потоки не будут возникать.

По закону Фурье количество теплоты $ΔQ$, которое переносится через некоторую поверхность $S$, перпендикулярную оси $Οz$, пропорционально градиенту температуры $ΔТ/Δz$, площади поверхности $S$ и времени $Δτ$:

$\Delta Q=-k\left( \frac{\Delta T}{\Delta z} \right)S\Delta \tau$

где $к$ – коэффициент теплопроводности, который зависит от природы и состояния газа. Численно он равен количеству теплоты, которая переносится через единицу площади за единицу времени, когда градиент температуры равен единице. Коэффициент теплопроводности выражают в ваттах на метр, умноженный на кельвин (Вт / (м · К)).

Коэффициент теплопроводности

С точки зрения молекулярно-кинетической теории теплопроводность – это процесс переноса внутренней энергии из одного слоя в другой, который осуществляется вследствие хаотического движения молекул.

Исходя из этого, определим количество перенесенной энергии и коэффициент теплопроводности.
Пусть в среде газа существует спад градиента температуры в направлении оси $Oz$. Рассмотрим некоторую поверхность $S$ внутри газа, перпендикулярную оси $Oz$:

Будем считать, что выше этой поверхности температура газа $Т_1$, а под поверхностью – $Т_2$, причем $Т_1$ > $Т_2$.
В результате хаотического движения молекул газа через поверхность $S$ за время $Δτ$ сверху вниз и снизу вверх пройдет одинаковое количество молекул, но перенесут они разное количество теплоты (энергии):

• Сверху вниз

  $\frac{1}{6}{{n}_{0}}Sv\Delta \tau {{c}_{V}}m{{T}_{1}}$

где $c_vmT_1$ – количество теплоты, что переносится одной молекулой верхнего слоя.

• Снизу вверх

$\frac{1}{6}{{n}_{0}}Sv\Delta \tau {{c}_{V}}m{{T}_{2}}$

где $c_vmT_2$ – количество теплоты, что переносится одной молекулой нижнего слоя газа.
Найдем результирующее количество теплоты, которое переносится через поверхность $S$ за время $Δτ$:

$\Delta Q=\frac{1}{6}{{n}_{0}}Sv\Delta \tau {{c}_{V}}m({{T}_{1}}-{{T}_{2}})$

$Т_1$ и $Т_2$ относятся к слоям газа, которые содержатся с разных сторон от поверхности $S$ на расстоянии $λ$ от нее. Поэтому ($Т_1$ - $Т_2$) является разницей температур слоев газа на расстоянии $2λ$. Через градиент температуры ее можно записать так:

${{T}_{1}}-{{T}_{2}}=\left( \frac{\Delta T}{\Delta z} \right)2\lambda$

Выполнив в соответствии с этим равенством замену в выражении, получим:

$\Delta Q=\frac{1}{3}v\lambda \rho {{c}_{V}}\left( \frac{\Delta T}{\Delta z} \right)S\Delta \tau$

Сопоставив выражения $ΔQ$, найдем коэффициент теплопроводности:

$k=\frac{1}{3}v\lambda \rho {{c}_{V}}$

Коэффициент теплопроводности не зависит от давления, поскольку $v$, $c_v$ и произведение $λρ$ не зависят от давления. Коэффициент теплопроводности, как и другие коэффициенты переноса, растет с повышением температуры. Эти результаты согласуются с опытными данными.

Сопоставив выражения коэффициентов вязкости и теплопроводности, получим соотношение:

$k=\eta {{c}_{V}}$,

которое легко можно проверить экспериментально.

Проверка показала, что данная зависимость незначительно приближается к исследовательским данным. Это объясняется тем, что при выводе формул делались упрощения, в частности расчеты строились на средних значениях скоростей и длин свободного пробега молекул, а надо было бы учитывать законы распределения этих величин. Точнее это соотношение выражается формулой:

$k=A\eta {{c}_{V}}$

где $А$ – множитель, зависящий от природы газа. Для одноатомного газа $А$ = 2,5, двухатомного – 1,9, трехатомного – 1,6.

Научная статья по физике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Теплопроводность»