Скорость потока

Важнейшими характеристиками потоков жидкости или газа (например при движении их в трубах) являются объемный расход и скорость потока.

Объемный расход

Объем жидкости, проходящей через заданную площадь за единицу времени. Измеряется в системе СИ в кубических метрах в секунду (м3/с). Обычно обозначается символом $Q$.

Скорость потока

Скорость движения жидкости, которая численно равна отношению расхода жидкости Q к площади живого сечения.

Понятие расхода

Если через заданную площадь $S$ жидкость протекает с равномерно распределенной по площади скоростью $V$ под углом $θ$ к направлению скорости до перпендикуляра площади $S$, то расход составит:

$Q = V ⋅ S ⋅ cosθ$

В частном случае, когда скорость потока перпендикулярна к площади $S$, уравнение примет вид:

$Q = V ⋅ S$

Общий случай

Записанные выше уравнения обычно называют уравнениями непрерывности (для одномерных течений несжимаемой жидкости). Если скорость жидкости через заданную площадь неодинакова (или, если область не является плоской), то объемный расход потока жидкости может быть рассчитан с помощью интеграла по площади:

$Q = ∬S u ⋅ dω$,

где $dω$ дифференциал поверхности, который записывается как:

$dω = n dS$,

где $n$ – единичный вектор нормали к поверхности; $dS$ – дифференциал площади $S$.

Полученное уравнение потока вектора скорости через поверхность $S$ является скалярной величиной. Физически поток вектора скорости представляет собой секундный объемный расход жидкости через поверхность $S$.

Измерение скорости потока

Для измерения скорости потока жидкости или газа используется прибор, предложенный французским ученым А. Пито (1695-1771). Этот прибор имеет две трубки: одну с отверстием напротив потока и вторую с отверстием, параллельным потоку:

Трубки соединены с дифференциальным манометром:

В отверстии первой трубки скорость жидкости или газа равна нулю, а в отверстии второй скорость потока сохраняется. Применив уравнение Бернулли для частиц потока в отверстиях трубок, получим:

${{p}_{1}}=\frac{\rho {{v}^{2}}}{2}+{{p}_{2}}$

Составляющую $ρv^2/2$, имеющую размерность давления, называют динамическим давлениям, а составляющую $р^2$ – статичным.

Из уравнения определим скорость потока:

$v=\sqrt{\frac{2({{p}_{1}}-{{p}_{2}})}{\rho }}$

Здесь $ρ$ – плотность вещества в потоке; ($р_1$ – $р_2$) находят по разнице высот жидкости в манометре. Согласно данной формуле можно проградуировать манометр в трубке Пито для измерения скорости потока.

Трубку Пито используют для измерения скорости кораблей и самолетов.

Скорость истечения жидкости из бака

Найдем скорость истечения жидкости из бака:

Для этого выделим в жидкости трубку потока (показанную штриховой линией) и применим к ее сечениям (взятых на поверхности жидкости в баке, и в отверстии утечки) уравнение Бернулли. Если при этом учесть, что давления в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному, а скорость в сечении на поверхности жидкости в баке приравнять к нулю, то получим:

$\rho g{{h}_{1}}=\frac{\rho {{v}^{2}}}{2}+\rho g{{h}_{2}}$

Отсюда находим $v$ – скорость истечения жидкости из бака:

$v=\sqrt{2g({{h}_{1}}-{{h}_{2}})}$

Поскольку $h_1 - h_2 = h$ – высота уровня жидкости в баке над отверстием истечения, окончательно:

$v=\sqrt{2gh}$

Эту формулу вывел итальянский ученый Э. Торричелли (1608-1647) в 1641 Из нее следует, что скорость истечения жидкости (идеальной) из сосуда такова, какова была бы скорость приобретенная телом, свободно падая с высоты $h$.

Пример 1

Цилиндрический сосуд высотой $h$ = 70 см с площадью дна $S$ = 600 см2 заполнено водой. В дне сосуда образовалось отверстие $S_1$ = 1 см2. За какое время вытечет вода из сосуда?

Решение

Приняв во внимание, что скорость истечения воды из сосуда со временем меняется, поскольку меняется уровень воды, определим сначала ее объем утечки за время $dt$:
$dV = S_1vdt$

где $v=\sqrt{2gh}$ ($h$ – уровень воды в заданный момент времени); поэтому:

$dV={{S}_{1}}\sqrt{2gh}dt$

Этот объем утечки можно выразить через снижение уровня воды:
$dV = -Sdh$

Если приравнять выражения и разделить переменные, то получим дифференциальное уравнение:

$\frac{dh}{\sqrt{h}}=-\frac{{{S}_{1}}}{S}\sqrt{2g}dt$

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем:

$2\sqrt{h}=-\frac{{{S}_{1}}}{S}\sqrt{2g}dt+C$

Найдем постоянную интегрирования. Поскольку при $t$ = 0, $h = h_0$, получим:

Тогда равенство примет вид:

$\sqrt{{{h}_{0}}}-\sqrt{h}=\frac{{{S}_{1}}\sqrt{2g}}{2S}t$

В случае полного вытекания воды ($h$ = 0) равенство примет вид:

$t=\frac{2S}{{{S}_{1}}}\sqrt{\frac{{{h}_{0}}}{2g}}$

Подставив значения из условия получим
$t$ = 227 с.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по физике по низкой цене!

Тест по теме «Скорость потока»