Консервативные и неконсервативные силы

Физики любят классифицировать различные явления. Чаще всего эта классификация – весьма условная вещь, что-то вроде «мы договорились, что будет так», но она помогает сходу отбросить ненужное и говорить о конкретных вещах. Об одной распространенной классификации мы сегодня и поговорим. Мы рассмотрим разделение всех сил в механике на консервативные и неконсервативные. А потом выясним, что неконсервативных сил на самом деле то и нет вовсе.

Консервативные силы

Консервативными называются силы, работа которых при перемещении тела от точки $1$ к точке $2$ зависит не от траектории движения этого тела между этими точками, а только от положения этих точек.

Рассмотрим знакомую нам из школы формулу для вычисления работы $A_{12}$, выполняемую вектором силы $\vec{F}$ при перемещения тела между двумя точками. Пусть точка $1$ задается радиус-вектором $\vec{r}_1$, а точка $2$ — радиус-вектором $\vec{r}_2$, тогда:

$A_{12}=\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}d\vec{r}$

$d\vec{r}$ — элементарное перемещение,

$\vec{F}d\vec{r}$ — скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $d\vec{r}:$

$\vec{F}d\vec{r}=F\cdot dr\cdot \cos \theta$

$F, dr$ — длины векторов $\vec{F}$ и $d\vec{r}$ соответственно,

$\theta$ — угол между этими векторами.

Таким образом, работу выполняет только та часть силы, которая действует вдоль направления перемещения тела. В частном случае, если сила действует перпендикулярно перемещению тела, то работа такой силы на этом перемещении равна нулю. Потому что косинус прямого угла равен нулю.

Формула для работы, которую мы написали имеет общий характер. Работа вычисляется как интеграл по траектории движения. Но для некоторых сил оказывается, что значение этого интеграла не зависит от траектории. Эти силы мы и называем консервативными.

Консервативные силы

Сила тяжести
Сила упругости
Сила гравитации
Сила электростатического взаимодействия

Сила тяжести

Рассмотрим движение тела, которое свободно падает под действием силы тяжести. Какую работу выполняет эта сила при падении тела из высоты $h_1$ на $h_2$?

Воспользуемся главной формулой для работы. В нашем случае сила тяжести направлена в ту же сторону, что и перемещение тела (сила действует вниз и тело падает тоже вниз). Выберем вертикальную ось $h$, направленную вверх. Сила тяжести вдоль этой оси равна $F=-mg$, так как ось направлена вверх, а сила вниз.

$m$ — масса тела,

$g$ — ускорение свободного падения.

Значит:

$A=-\int\limits_{h_1}^{h_2}mgdh=mg(h_1-h_2)$

Как видно, работа зависит только от значений $h_1$ и $h_2$, т. е. от начальной и конечной точек движения.
Поскольку $h_1>h_2$, то сила тяжести производит положительную работу при падении тела. Сила тяжести «помогает» телу при его движении вниз (тело просто падет).

Может показаться, что это слишком простой пример, т. к. у нас тело двигалось вниз. Но можно доказать, что по какой бы траектории не двигалось тело под действием силы тяжести, работа, выполняемая этой силой, будет зависеть только от начальной и конечной точек. Таким образом, сила тяжести — это консервативная сила.

Сила упругости

Рассмотрим грузик, подвешенный на пружинке. Пусть в равновесном состоянии (когда пружина ни растянута, ни сжата) координата грузика $x=0$. Если мы теперь оттянем немного грузик вниз или вверх так, что его новая координата будет $x$, то на грузик будет действовать сила упругости, даваемая (при небольших смещениях) формулой Гука:

$F=-kx$

$k$ — жесткость пружины.

Знак минус указывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную направлению смещения. Если мы оттягиваем грузик вниз, то пружина старается тянуть его вверх, и наоборот. Выберем ось $x$, направленную вверх (можно выбрать и вниз). Тогда работа силы упругости при движении тела из положения равновесия $x=0$ в точку $x$ равна:

$A=-\int\limits_0^xkxdx=-\frac{kx^2}{2}$

То есть сила упругости в этом случае производит над грузиком отрицательную работу. Это объясняется тем, что когда тело двигается в одну сторону, то сила упругости, возникающая при растяжении (или сжатии) пружины, действует на него в противоположную сторону. Сила нам в этом случае не помогает, а наоборот, противодействует движению грузика. Мы видим здесь зависимось только от конечной точки движения $x$. Значит, сила упругости – это тоже консервативная сила.

Сила гравитации

Сила гравитации, по сути, то же, что и сила тяжести. Просто когда мы говорили о силе тяжести, то имели ввиду движение тел в поле тяготения Земли, причем неподалеку от ее поверхности (это нужно для того, чтобы считать $g$ постоянным). Сила гравитации, возникающая между двумя телами, прямо пропорциональна их массам $m_1$ и $m_2$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$ между ними:

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

$G$ — гравитационная постоянная.

Оказывается, что вообще для гравитационных сил, их выполняемая работа не зависит от траектории и определяется начальной и конечной точками перемещения. Силы гравитации – консервативные силы.

Сила электростатического взаимодействия

Эти силы возникают между двумя покоящимися электрическими зарядами. Величина этой силы – это просто закон Кулона:

$F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$

$q_1, q_2$ — электрические заряды частиц,

$r$ — расстояние между ними.

Формула очень напоминает формулу для гравитационных сил (они в принципе одинаковы). Это приводит нас к выводу, что силы электростатического взаимодействия тоже консервативны.

Для консервативных сил имеет место одна очень важная особенность. Мы можем ввести так называемую потенциальную энергию $U$. В механике до этого уже имеется кинетическая энергия $T$ или энергия движения. Известен закон сохранения полной механической энергии $E=T+U$.

Неконсервативные силы

Конечно, помимо консервативных сил есть неконсервативные. Это все остальные силы, чья работа вычисляется по пути.

Неконсервативные силы

Сила трения
Сила сопротивления воздуха

Сила трения

Сила трения возникает при движении одного тела по поверхности другого и равна:

$F=\mu N$

$\mu$ — коэффициент трения,
$N$ — сила реакции опоры.

Коэффициент трения зависит от материала тел, состояния их поверхности и т. д., но он не зависит от площади трущихся тел.

Сила сопротивления воздуха

Сила сопротивления воздуха возникает, когда тело какой-то формы движется со скоростью $v$ в воздухе. Для некоторого диапазона скоростей эта сила пропорциональна квадрату скорости:

$F=kv^2$

$k$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от формы движущегося тела и его прочих характеристик.

Эта сила направлена против движения тела.

Для неконсервативных сил невозможно ввести потенциальную энергию, следовательно, не имеет смысла говорить о полной механической энергии $E=T+U$ и о ее сохраняемости. Значит, получается, что при действии неконсервативных сил, полная (механическая) энергия не сохраняется.

Самое важное, что нужно запомнить относительно этих двух видов сил: энергия (механическая) сохраняется в той системе тел, где действуют только консервативные силы. В этом их смысл.

Проще говоря, к неконсервативным силам относятся те, что «тратят» энергию системы на какие-то другие процессы.

Но что это за процессы? Это могут быть, например, явления превращения кинетической энергии в тепло. Когда два тела трутся друг о друга, то они нагреваются. Не замечая этого, мы и говорим, что полная энергия не сохраняется. Но здесь важно понимать главное различие. Говорится именно о несохраняемости полной механической энергии. Существует всего два вида механической энергии: кинетическая и потенциальная. Если мы добавим сюда все виды энергии, которые существуют в природе, то получим красивое правило: полная энергия системы (система должна быть замкнутой) сохраняется.

Почему неконсервативных сил не существует?

Обратимся подробнее к вопросу траты энергии неконсервативными силами. Один из важнейших постулатов, касающихся энергии, гласит: энергия не приходит из ниоткуда и не уходит в никуда. Если бы это было не так, давно бы изобрели электростанцию, работающую с огромной эффективностью. Значит, энергия все же не тратится? Что тогда?

Дело в том, что Ньютон в своих исследованиях не учитывал внутреннюю энергию тел и ее изменения. Даже эмпирически можно понять, что трение нагревает тело – достаточно минуту интенсивно тереть руки друг об друга. А температура – это мера внутренней энергии тела. Чем быстрее внутри движутся молекулы, тем горячее тело. Так что трение разгоняет молекулы (а это уже энергия движения, то есть кинетическая энергия, просто мы не замечаем ее), не более того. То же можно сказать и про остальные описанные силы. То есть если в систему включить все тела, об которые трутся тела из системы, она наконец-то станет замкнутой, и абсолютно все силы в ней станут консервативными.

На Студворк вы можете заказать статью по физике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Консервативные и неконсервативные силы»