Центр инерции системы материальных точек

Инерция определяет, насколько хорошо тело может препятствовать изменению своей скорости. Инерция зависит от массы. По сути, чем больше масса, тем больше инертность тела. Как это связано? Очень просто. Поезд тормозит медленнее легковой машины, именно поэтому переходить пути надо еще внимательнее, чем дорогу. В поезде собственная масса в несколько тонн и еще сотни людей едут на работу. В машине их максимум пять. И чтобы остановить поезд, нужно приложить к нему силу, большую, чем потребуется для остановки машины. Все потому, что сила связана напрямую с ускорением, а не со скоростью. Согласно второму закону Ньютона:

$F=ma$,

где
$F$ — сила;
$m$ — масса;
$a$ — ускорение.

Отсюда видно, что ускорение обратно пропорционально массе. Это объясняет, почему изменить скорость более массивного тела труденее чем более легкого.

Инерция материальной точки

В решении задач механики часто используют физическую модель под названием материальная точка (МТ).

Материальная точка

Это некое тело, имеющее массу, но не имеющее объема.

Соответственно, оно может подвергаться воздействию внешних сил. Именно эту абстракцию мы будем использовать для дальнейших объяснений.

Если представить, что МТ обладает массой утренней электрички, становится жутко. И тем не менее избавление от объема и лишних ассоциаций, возникающих с реальными объектами (как, например, изменится скорость электрички, если в ней «зайцы» убегают от контролеров?) дает возможность сосредоточиться на задачах, решаемых механикой.

Момент инерции материальной точки

Одно из важных понятий, связанных с инерцией, имеет название момента инерции (МИ).
Что называется моментом инерции материальной точки? Это понятие возникает только при рассмотрении криволинейного движения. Чаще всего под криволинейным движением понимается движение по окружности – им мы и займемся. Строго говоря, любую траекторию можно рассмотреть как совокупность движений по прямой и по окружности, именно поэтому эти типы движения изучаются особенно внимательно.

Почему момент инерции имеет смысл только при криволинейном движении? Потому что его ввели, когда оказалось, что при вращательном движении массы тела в качестве меры инертности недостаточно для расчетов. МИ – всего лишь сумма произведений элементарных масс тела на квадрат их расстояний до точки, относительно которой происходит вращение. Вот формула:

Момент инерции системы материальных точек

$J= \displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_ir_i^2$

$J$ — момент инерции;
$m_i$ — масса $i$-ой частицы;
$r_i$ — расстояние $i$-ой частицы к точке, относительно которой происходит вращение;
$N$ — количество частиц в системе.

По сути это формула для момента инерции системы $N$ частиц.
Для непрерывного тела сумма превращается в интеграл:

Момент инерции непрерывного тела

$J= \displaystyle\int_{0}^{m} r^2dm$

$m$ — полная масса тела;
$r$ — расстояние от элемента массы $dm$ к точке, относительно которой происходит вращение.

Проще говоря, если взять чайный пакетик, разбить его (мысленно!) на мелкие частички, посчитать массу каждой из них, умножить их на соответствующие квадраты расстояний до раскручивающих его за этикетку пальцев, а потом сложить все эти произведения — получится момент инерции относительно точки за которую мы держим этот пакетик.

А если сжать пакетик в материальную точку, оставив массу и лишив его объема, то и интегралы считать не надо — масса пакетика на квадрат расстояния будет моментом инерции МТ. При этом пальцы, держащие этикетку, будут центром инерции материальной точки.

Момент инерции часто рассматривают не только относительно точки, но и относительно некоторой оси. Говоря об оси или точке вращения, стоит заметить, что ось можно представить как частный случай точки. Тем не менее в задачах оси чаще всего достаточно. В чем вообще между ними разница? Ось (простейшее ее представление — стержень) дает телу всего одну плоскость вращения — перпендикулярную себе. А у точки этих плоскостей бесконечное количество. Потому, если нужно рассмотреть вращение в нескольких плоскостях, стоит взять точку, а если нет, то лучше ограничиться стержнем.

Сложности возникают, когда предмет нельзя взять и сжать в одну материальную точку. Например, он состоит из разных материалов или слишком велик в рамках решаемой задачи, чтобы ограничиться всего лишь точкой. Тогда на помощь приходит… система материальных точек. Тело разбивается на несколько частей, каждая из которой имеет свое фиксированное положение относительно других и имеет массу. И тогда момент инерции системы материальных точек вычисляется по формуле выше.

Зачем вообще нужна мера инерции в виде массы или момента инерции? А затем, что эти величины входят в основные уравнения динамики. Масса входит в уравнение Ньютона (его мы уже видели выше), а момент инерции встречается в уравнении движения для вращательного движения (аналог уравнения Ньютона):

$M=J \varepsilon$,

где
$M$ — момент сил;
$J$ — момент инерции;
$\varepsilon$ — угловое ускорение.

Нужно подчеркнуть, что в этой формуле момент сил $M$ и момент инерции $J$ берется относительно одной и той же точки (или оси) иначе это уравнение попросту не будет иметь смысла.

Не знаете, где заказать написание статьи по физике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Инерция материальной точки»