Закон распределения Максвелла-Больцмана

Рассмотрим некоторую систему газа, молекулы которой движутся с разными скоростями. Температура и давление в системе постоянны. Молекулы газа беспорядочно движутся, сталкиваясь друг с другом.

Грубо представить явление можно в виде бильярдного стола без отверстий (луз) для шаров. На этом столе расставлено много шаров для бильярда. Толкнем один из них. Допустим, что он успеет «завести» (затронуть) все остальные шары до того как остановится. И при этом соблюдается важное условие – шары не взаимодействуют друг с другом.

Естественно, молекула воздуха движется не в двумерном пространстве, как шары на бильярдном столе. При изучении движения молекул мы имеем дело с трехмерным пространством.

Кинетическая составляющая закона распределения Максвелла-Больцмана – это распределение Максвелла. Эта составляющая характеризирует распределение наших «шаров»-молекул по ихним скоростям (или импульсам, так как скорость пропорциональна импульсу).
Есть некоторые ограничения (условия применимости), которые надо учитывать при применении этого распределения. Система не должна быть релятивистской или квантовой, она должна быть изотропна и находиться в равновесном состоянии.

Распределение Максвелла по импульсам

$d \omega = \frac{1}{(2\pi mkT)^{3/2}} \cdot \exp(-\frac{p^2}{2mkT})dp_xdp_ydp_z$

$m$ — масса одной молекулы газа,
$T$ — термодинамическая температура,
$k$ — постоянная Больцмана,
$р$ — модуль (длина) вектора импульса.

Распределение Максвелла по импульсам – это та доля молекул, абсолютные значения импульсов $p=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}$ которых лежат в области $[p_x+dp_x, p_y+dp_y, p_z+dp_z]$.

Закон Максвелла имеет статистический характер и выполняется тем точнее, чем больше молекул в системе. Вид распределения зависит от температуры системы и «сорта» газа. Давление же и занимаемый объем газом на результат (распределение) никак не влияют.

Вторая часть закона распределения Максвелла-Больцмана зависит от потенциальной энергии частиц газа, не сталкивающихся между собой, и отражает положение данной молекулы в газе.

Формула Больцмана

$d \omega = \frac{\exp{(-\frac{u}{kT})}dV}{\int{\exp{(-\frac{u}{kT})dV}}}$

$u$ — потенциальная энергия частицы (молекулы),
$T$ — термодинамическая температура,
$k$ — постоянная Больцмана.

Формула Больцмана – это доля частиц с потенциальной энергией $u$, находящихся в элементарном объеме $dV$ в области $[x+dx, y+dy, z+dz]$.

Распределение Максвелла не учитывает то, что на частицы действуют силы. На молекулу газа в атмосфере воздействует сила тяжести, которая зависит от высоты нахождения этой молекулы. Уравнение Больцмана показывает вероятность обнаружения исследуемой молекулы в заданном объеме $dV$, то есть их число в заданном объеме.

Распределения Максвелла-Больцмана – единый закон, описывающий движение молекулы в идеальном газе. Закон Максвелла дает описание распределения молекул за кинетическими энергиями, закон Больцмана – распределение за потенциальными энергиями.

Формула распределение Максвелла-Больцмана

$d \omega = \big[\frac{1}{(2\pi mkT)^{3/2}} \cdot \exp (-\frac{p^2}{2mkT})dp_xdp_ydp_z\big]\cdot\bigg[ \frac{\exp{(-\frac{u}{kT})}dV}{\int{\exp{(-\frac{u}{kT})dV}}}\bigg]$

Формула распределение Максвелла-Больцмана – громоздкая, но видно, что она представляет собой произведение двух предыдущих. Функция Максвелла-Больцмана учитывает положение молекул и их движение.

По теории вероятности, эти две величины независимы друг от друга. Распределение по скоростям или импульсам не зависит от точки пространства, в котором заключен газ.

Функция распределения Максвелла-Больцмана описывает не только состояние невырожденного идеального газа, но и энергетическое состояние свободных электронов в газовом разряде. Уравнение позволяет перейти к макроскопическому описанию свойств и явлений системы через микроскопическое описание свойств отдельных молекул среды.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по физике!

Тест по теме «Закон распределения Максвелла-Больцмана»