Коэффициент и логарифмический декремент затухания

Рассмотрим две важные характеристики колебательных систем в механике и теории электричества и магнетизма: коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Мы остановимся на так называемых затухающих колебаниях – таких колебаниях, амплитуда которых со временем уменьшается из-за потери энергии.

Чаще всего затухание происходит из-за трения — об воздух или поверхность, любую жидкую или газообразную среду, в которую помещено тело. Тело, проплывая в газе или жидкости или скользя по поверхности, передает этой среде внутреннюю энергию из за трения. Собственная суммарная кинетическая и потенциальная энергия при этом уменьшается. Соответственно уменьшается и скорость, а с ней — амплитуда.

Затухающие колебания можно поделить на свободные затухающие колебания и колебания, происходящие под действием внешних сил.

Как определить коэффициент затухания свободных затухающих механических колебаний

Уравнение движения механического свободного затухающего колебания

$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-rv$

$m$ — масса колеблющегося тела,

$x$ — его координата (смещение относительно точки равновесия $x=0$),

$-kx$ — сила упругости, даваемая законом Гука для небольших смещений,

$k$ — коэффициент упругости,

$-rv$ — сила трения,

$r$ — коэффициент трения,

$v$ — скорость тела.

Это уравнение имеет решение:

$x(t)=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi)$

$A_0$ — амплитуда,

$\omega$— циклическая частота,

$\varphi$ — начальная фаза,

$\beta$ — коэффициент затухания.

$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$

$\omega_0^2=\frac{k}{m}$

$\omega_0$ — собственная частота.

Коэффициент затухания $\beta$ – это величина, обратная времени, за которое амплитуда колебания уменьшилась в $e$ раз, где $e$ — основание натуральных логарифмов.

$\beta=\frac{1}{NT}$

$N$ — число колебаний после которых амплитуда уменьшилась в $e$ раз,

$T$ — период колебаний,

$T=\frac{2\pi}{\omega}$

Логарифмический декремент затухания свободных затухающих колебаний маятника

Маятник трется об воздух. И, казалось бы, как понять, какую он энергию отдает воздуху? Наверное, тут не обойтись без температуры, давления, плотности газообразной среды, и это долго, сложно, нудно… Может, и так. Но все это укладывается в коэффициент затухания $β$.

Определить логарифмический декремент затухания можно двумя способами — с помощью замеров амплитуды и с коэффициентом затухания. Для первого нужно лишь замерить две последовательные амплитуды. Тогда формула проста:

$\lambda=\ln\frac{A_0e^{-\beta t}}{A_0e^{-\beta (t+T)}}$

Если же известен коэффициент затухания, амплитуда не нужна. Логарифмический декремент затухания будет равен его произведению на период колебаний:

$\lambda=βT$

Логарифмический декремент затухания электрического колебательного контура

Колебания в электрическом контуре возникают при отсутствии активного сопротивления в цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор. Ток колеблется туда-сюда. Затухание этих колебаний удивительно похоже на затухание механических колебаний, потому, проведя несколько опытов, ученые пришли к выводу, что у электрического контура есть свой коэффициент затухания, и, соответственно, формула такая же, как для механических колебаний:

$\lambda=βT$

Вычисление периода колебаний

$T=2π\sqrt{LC}$

$L$ — индуктивность катушки,
$C$ — емкость конденсатора.

Коэффициент затухания вынужденных механических колебаний

Конечно, в вынужденных колебаниях тоже существует затухание. Разница свободных и вынужденных колебаний в существовании добавочной силы, которая возвращает амплитуду к ее начальному значению, не давая маятнику остановиться, т.е. нивелирует работу силы трения.
Уравнение движения такой системы:

$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-rv+F$.

Здесь все величины те же самые, что и в свободных колебаниях, но появляется внешняя сила $F$:

$F=mF_0\cos(\omega t)$.

$F_0$ имеет размерность силы, деленной на массу.

Решение уравнения вынужденных колебаний

$x=A\sin(\omega t+\varphi)$

$A$ — амплитуда колебаний.

$A=\frac{F_0}{m\sqrt{{(\omega_0^2-\omega^2)^2}+4\beta^2\omega^2}{}}$.

В случае затухающих вынужденных колебаний коэффициентом затухания снова является величина $\beta$.

На Студворк вы можете заказать статью по физике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Коэффициент и логарифмический декремент затухания»