Теория чисел и элементы криптографии (Контрольная №1, Теорема о делении с остатком. НОД и НОК)

1.1. При делении числа 1270 на натуральное число n частное получилось равным 74. Найти остаток r и n.

1.2. Докажите, что квадрат простого числа р  5 при делении на 24 дает остаток 1.

1.3. Докажите, что для любых m,n  N: 

а) n(n + 1)(2n + 1)  6;  б) mn(m4 – n4)  30.

1.4. Доказать, что квадрат нечетного числа, уменьшенный на 1, делится  на 8.

1.5. Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9.

1.6. Найти d=(123, 72) и его линейное представление.

1.7. Найти все простые числа такие, что  тоже являются простыми.

1.1. При делении числа 1270 на натуральное число n частное получилось равным 74. Найти остаток r и n.

1.2. Докажите, что квадрат простого числа р  5 при делении на 24 дает остаток 1.

1.3. Докажите, что для любых m,n  N: 

а) n(n + 1)(2n + 1)  6;  б) mn(m4 – n4)  30.

1.4. Доказать, что квадрат нечетного числа, уменьшенный на 1, делится  на 8.

1.5. Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9.

1.6. Найти d=(123, 72) и его линейное представление.

1.7. Найти все простые числа такие, что  тоже являются простыми.