Высшая математика МТИ 2 семестр (Математический анализ) Ответы на итоговый тест

Тест был сдан в 2024 году.

Представлены ответы на большинство вопросов по предмету "Высшая математика/Математический анализ".

2 семестр МТИ.

Итоговый набранный балл 100 из 100 (Скриншот прилагаю).

Перед покупкой обязательно сверьте скриншот и ваш предмет. Учебные материалы должны быть идентичны.

ВНИМАНИЕ! Покупайте работу, только убедившись, что ваши вопросы совпадают с представленными ниже. Для этого рекомендую сначала запустить тест и сверить хотя бы несколько вопросов.

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

1. Учебные материалы

В каких точках выпукла или вогнута кривая y = 2 – 3x – x²

1) выпукла во всех точках

2) вогнута во всех точках

3) (-3/2; -13/4) — точка перегиба

В каком из перечисленных случаев величина называется параметром?

• если она сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса
• если она всегда сохраняет одно и то же значение
• если она принимает различные значения

Вычислите определенный интеграл ∫ √(1 – x)dx, при x = 0..1

1) 2/3

2) 2 2/3

3) 0

Вычислите определенный интеграл ∫ √(6x – 2)dx, при x = 1..3

1) 56/9

2) 56

3) 8

4) −1/9

Вычислите определенный интеграл ∫ √(x)dx, при x = 1..4

1) 4 2/3

2) 2 2/3

3) 2

Вычислите определенный интеграл ∫ (1/2 ⋅ t + 4t²)dt, t = -1..+1

1) 2 2/3

2) 0

3) 4 1/2

Вычислите определенный интеграл ∫ (x² – 1)³xdx, при x = 1..2

1) 10 1/8

2) 26

3) 1

Вычислите определенный интеграл ∫ 1 / (1 – 2x)³, при x = -2..0

• 0,24
• 0,4
• 0,008

Вычислите определенный интеграл ∫ 15xdx / (x² – 1)³, при x = 2..4

• 0,4
• 0,8
• 0,5

Вычислите определенный интеграл ∫ 2dt / cos²t, при x = 0..π/4

1) 2

2) 1

3) 1/2

Вычислите определенный интеграл ∫ 2dx / √(1 – x²), при x = 0..0,5

1) π/3

2) π/2

3) 0,5

Вычислите определенный интеграл ∫ 2dx / ∜x, при x = 1..16

1) 56/3

2) 24

3) 28/3

4) 8/3

Вычислите определенный интеграл ∫ 2eˣdx, при x = 0..2

• 2e^2-2
• 2e^2-1
• 2e^2+2
• 2e^2

Вычислите определенный интеграл ∫ 2xdx / √(16 + x²), при x = 0..3

1) 2

2) 2/5

3) 1 1/5

Вычислите определенный интеграл ∫ 2π(1 + x²)dx, при x = 1..2

1) 20π/3

2) 10π

3) 2π

Вычислите определенный интеграл ∫ 2π√x dx, при x = 1..9

1) 104/3 ⋅ π

2) 112/3 ⋅ π

3) 52/3 ⋅ π

4) 104/3

Вычислите определенный интеграл ∫ 3dx / √(9 – x²), при x = 0..3

1) 3π/2

2) 3

3) π

4) π/2

Вычислите определенный интеграл ∫ 3x² – 4x – 1, при x = 2..3

• 8
• 0
• -2
• 1

Вычислите определенный интеграл ∫ 3x⁴dx, при x = 1..2

1) 93/5

2) 93

3) 96/5

4) 99/5

Вычислите определенный интеграл ∫ 4∛(x)dx, при x = 1..8

1) 45

2) 4∛7

3) 12

Вычислите определенный интеграл ∫ 4sin³xcosxdx, при x = π/4...π/3

1) 5/16

2) 5/6

3) 1/16

Вычислите определенный интеграл ∫ cos(π/3 – x)dx, при x = π/6..π/3

• 0,5
• 0
• 1

Вычислите определенный интеграл ∫ dx / ∛(x²), при x = 1..2

1) 3(∛2 − 1)

2) √2 − 1

3) 1

Вычислите определенный интеграл ∫ dx / cos²2x, при x = π/8..π/6

1) 1/2 ⋅ (√3 − 1)

2) 1/2

3) 0

Вычислите определенный интеграл ∫ eˣdx / (eˣ + 5), при x = 0..1

1) ln((e + 5) / 6)

2) lne + 5

3) 1 / (e + 5)

Вычислите определенный интеграл ∫ sin2xdx, при x = π/6..π/4

• 0,25
• 0
• 1

Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x = 2x – x2 и y = 0

1) 4/3

2) 3/4

3) 2 1/3

4) 1/3

Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y = 1/cos^2x , y =0 , x1 = 0 , x2 = 45°

1) 1

2) 2

3) 1/2

4) 1/3

Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (1 – cos4x) / (1 – cos6x), при x ⟶ 0

1) 4/9

2) 1/9

3) 2/3

4) 1

Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (cos7x – 1) / (cos3x – 1), при x ⟶ 0

1) 49/9

2) 7/3

3) 0

4) ∞

Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (x – arctgx) / x², при x ⟶ 0

• 0
• 1
• 2
• 7

Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² – 3) / (x² – 3x + 2), при x ⟶ 2

• 4
• 1
• 0
• 2

Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² – 8) / (x² – 9), при x ⟶ 3

1) 1

2) 8/9

3) 0

4) ∞

Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением υ = 9t² – 2t – 8

• 48 м
• 42 м
• 40 м
• 46 м

Вычислите силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см

• 58,8 Н (6 кГ)
• 62 Н (6,1 кГ)
• 50 Н (5,1 кГ)
• 56 Н (5,7 кГ)

Вычислите силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м и высота 5 м, считая шлюз доверху заполненным водой

• 2,45 МН
• 24,5 МН
• 2,55 МН
• 2,25 МН

График какой функции симметричен относительно оси ординат?

• четной функции
• нечетной функции
• функции общего вида

Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них линейные уравнения 1) y' - 3y = xe³ˣ; 2) y' - 3y = y³e³ˣ; 3) y' + y / (x + 4) = tgx / (x + 4); 4) y' + y² / (x + 4) = tgx / (x + 4)

• 1, 3
• 1, 3, 4
• 2, 3, 4
• 3, 4

Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них однородные уравнения 1) (x² + y² + 2xy)dx + 2xydy = 0; 2) (x² + y² + 2x)dx + 2xydy = 0; 3) y' = (y/x)² + y/x + 49; 4) y' = (y/x)² + x; 5) y' = (x + 7y) / 7y; 6) y' = (x + 7) / 7y

• 1, 3, 5
• 1, 3, 4, 5
• 1, 3, 6
• 1, 3, 5, 6

Исследуйте ряд на сходимость 1 / 3 – 1 / 4 + 1 / 5 – 1 / 6 + … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ 1 / (n + 2) + ...

• сходится
• расходится
• абсолютно сходится
• ничего нельзя сказать о сходимости ряда

Исследуйте ряд на сходимость 5 / 1 – 7 / 2 + 9 / 3 - … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ (2n + 3) / n + ...

• расходится
• абсолютно сходится
• условно сходится
• сходится

Исследуйте функцию y=x^3+3x^2на экстремумы

• максимум в точке -2; минимум в точке 0
• максимум в точке 0; минимум в точке -2
• максимум в точке 2; минимум в точке 0

Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?

• частным решением
• единичным решением
• множественным решением
• универсальным решением

Какая из перечисленных функций не относится к алгебраическим функциям?

• логарифмическая функция
• дробно-рациональная функция
• целая рациональная функция
• иррациональная функция

Какая из перечисленных функций не относится к трансцендентным функциям?

• дробно-рациональная функция
• показательная функция
• логарифмическая функция
• тригонометрическая функция

Какая кривая y = f(x) называется выпуклой на интервале (a, b)?

• если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале
• если все точки кривой лежат на ее касательной на этом интервале
• если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале

Какая поверхность называется графиком функции n переменных?

1) n-мерная гиперповерхность в пространстве Rⁿ⁺¹, точки которой имеют вид (x₁, x₂, …, xₙ, f(x₁, x₂, …, xₙ))

2) n-мерная гиперповерхность в пространстве Rⁿ, точки которой имеют вид (x₁, x₂, …, xₙ, f(x₁, x₂, …, xₙ))

3) (n + 1)-мерная гиперповерхность в пространстве Rⁿ⁺¹, точки которой имеют вид (x₁, x₂, …, xₙ, f(x₁, x₂, …, xₙ))

Какая функция называется четной?

1) если для любых значений x из области определения f(−x) = f(x)

2) если для любых значений x из области определения f(−x) = −f(x)

3) если для любых значений x из области определения f(−x) = −f(−x)

Какая функция называется явной?

• если функция задана формулой y = f(x), в которой правая часть не содержит зависимой переменной
• если функция задана формулой y = f(x), в которой левая часть не содержит зависимой переменной
• если функция задана уравнением F(х, у) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной

Какая функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X?

• если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции
• если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции
• если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует положительное значение функции

Какова область определения функции? 1/f(x)

• f(x) ≠ 0
• f(x) ≥ 0
• f(x) ≤ 0
• −1 ≤ f(x) ≤ −1

Каково необходимое условие возрастания функции?

1) если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то f'(x) ≥ 0 для всех x из этого интервала

2) если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то f'(x) ≤ 0 для всех x из этого интервала

3) если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то f'(x) = 0 для всех x из этого интервала

Какое уравнение называется дифференциальным уравнением?

• уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков
• уравнение, содержащее независимую переменную и функцию от этой независимой переменной
• уравнение, содержащее функцию от независимой переменной и ее производные различных порядков

Какую подстановку используют при решении уравнений Бернулли?

1) y = u ⋅ v

2) y/x = t

3) y = u + v

Какую работу совершает сила в 8 H при растяжении пружины на 6 см?

• 0,24 Дж
• 20 Дж
• 0,2 Дж
• 2 Дж

На каком из рисунков изображена область определения функции? z = ln(2 – x + y) / √(x + y)

• 1
• 2
• 3
• 4

Найдите ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx

1) 1/2 ⋅ ln(x² + 1) + arctgx + C

2) ln(x² + 1) + arcctgx + C

3) 2ln(x² + 1) + arcctgx + C

Найдите ∫ (2 / x² – 4 / √x + 3∛(x²))dx

1) 9/5 ⋅ x ⋅ ∛(x²) − 8√x − 2/x + C

2) 3/5 ⋅ ∛(x²) − 8x − 2/x + C

3) 9/5 ⋅ √x − 8√x − 2 + C

Найдите ∫ (2/x³ – 4/√x + 3∛(x²))dx

1) 9/5 ⋅ x∛(x²) - 8√x - 2/x + C

2) 3/5 ⋅ ∛(x²) - 8x - 2/x + C

3) 9/5 ⋅ √x - 8√x - 2 + C

Найдите ∫ (3 + 5x)⁴dx

1) 1/25 ⋅ (3 + 5x)⁵ + C

2) 1/25 ⋅ (3 + 5x)³ + C

3) 1/16 ⋅ (3 + 5x)³ + C

Найдите ∫ (3x – x²)dx

1) 3/2 ⋅ x² − 1/3 ⋅ x³ + C

2) 3/2 ⋅ x − 1/3 ⋅ x² + C

3) 3 − 2x + C

Найдите ∫ √(x)dx / (1 + x)

1) 2 ⋅ (√x − arctg√x) + C

2) √x − arctg√x + C

3) 1/2 ⋅ (√x − arctg√x) + C

Найдите ∫ √(x)dx / (x + 1)

1) 2(√x − arctg√x) + C

2) √x − arctg√x + C

3) 1/2 ⋅ (√x − arctg√x) + C

Найдите ∫ √(x)dx

1) 2/3 ⋅ x√x + C

2) 2/3 ⋅ √x + C

3) x√x + C

Найдите ∫ ∛(x²)dx

1) 3/5 ⋅ x ⋅ ∛(x²) + C

2) x ⋅ ∛(x²) + C

3) 3/5 ⋅ ∛(x²) + C

Найдите ∫ 1/2 ⋅ t²dt

1) 1/6 ⋅ t³ + C

2) 1/4 ⋅ t² + C

3) 1/2 ⋅ t + C

Найдите ∫ 2dx / (3 – 4x)

1) −1/2 ⋅ ln|3 − 4x| + C

2) 1/2 ⋅ ln|3 − 4x| + C

3) ln|3 − 4x| + C

Найдите ∫ 3dt / 2t

1) 3/2 ⋅ ln|t| + C

2) 2/3 ⋅ ln|t| + C

3) 3 ⋅ ln|t| + C

Найдите ∫ dx / cos²(1 – 2x)

1) 1/2 ⋅ tg(2x − 1) + C

2) 1/2 ⋅ ctg(2x − 1) + C

3) tg(2x − 1) + C

Найдите ∫ lnxdx / x

1) 1/2 ⋅ ln²x + C

2) −1/2 ⋅ ln²x + C

3) 1/2 ⋅ lnx + C

Найдите ∫ xe^(x²)

1) 1/2 ⋅ e^(x²) + C

2) 2xe^(x²) + C

3) 2xe^(x) + C

Найдите ∫ xⁿ⁻¹dx

1) 1/n ⋅ xⁿ + C

2) 1/n ⋅ x + C

3) xⁿ + C

Найдите вертикальные асимптоты к графику функции y = 5x / (x² – x)

• х = 0 и х = 1
• х = 0 и x = -1
• х = 1
• х = 0

Найдите интеграл ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx

1) 1/2 ⋅ ln|x² + 9| + 3arctg(x/3) + C

2) 1/2 ⋅ ln|x² + 3| + 1/3 ⋅ arctg(x/9) + C

3) ln|x² + 9| + 3arctg(x/3) + C

4) 1/2 ⋅ ln|x² + 9| + 1/3 ⋅ arctg(x/3) + C

Найдите интеграл ∫ (5 + 2x)⁸dx

1) (5 + 2x)⁹ / 18 + C

2) (5 + 2x)⁹ / 9 + C

3) (5 + 2x)⁹ / 45 + C

4) 16(5 + 2x)⁷ + C

Найдите интеграл ∫ dx / sin²(2x + 5)

1) −1/2 ⋅ ctg(2x + 5) + C

2) −1/5 ⋅ ctg(2x + 5) + C

3) −1/2 ⋅ ctgx + C

4) 1/2 ⋅ ctg(2x + 5) + C

Найдите интеграл ∫ ln³xdx / x

1) ln⁴x / 4 + C

2) ln⁴x + C

3) 3ln²x + C

4) ln⁴x / 4

Найдите интервал сходимости ряда x / 1 + x² / (1 ⋅ 2) + x³ / (1 ⋅ 2 ⋅ 3) + … + xⁿ / n! + …

1) (−∞; +∞)

2) (0; +∞)

3) (−∞; 0)

Найдите интервал сходимости ряда x / 3! + x² / 4! + x³ / 5! + … + xⁿ / (n + 2)! + …

1) (−∞; +∞)

2) (−∞; 0)

3) 0

4) (0; +∞)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x^2 на промежутке [-1; 3]

1) yₘₐₓ = 9, yₘⱼₙ = 0

2) yₘₐₓ = 6, yₘⱼₙ = −2

3) yₘₐₓ = 9, yₘⱼₙ = 1

Найдите наименьшее значение функции f(x) = x^3 – 9x^2 – 5 на отрезке [0; 3]

• -59
• -113
• -5

Найдите область определения функции z = √(1 – xy) / (x² – y²)

1) xy ≤ 1, x² ≠ y²

2) xy ≥ 1, x² ≠ y²

3) xy = 1, x² ≠ y²

Найдите область определения функции z = √(y + 2x) / (4 – xy)

1) y ≥ −2x, xy ≠ 4

2) y > −2x, xy ≠ 4

3) y ≥ 2x, xy ≠ 4

4) y ≥ −2x, xy ≠ −4

Найдите общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0

1) y³ = x³ln|Cx|

2) y = xln|Cx|

3) y³ = 3x³ln|Cx|

4) x³ = y³ln|Cx|

Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0

1) y = (C − x²) / 2x

2) y = (x² − C) / 2x

3) y = (C − x²) / x

Найдите общее решение уравнения 3y' = y² / x² + 10 ⋅ y / x + 10

1) (y + 2x) / (x(y + 5x)) = C

2) (2x - y)(y + 2x) = C

3) (2x - y) / (y + 3x) = C

Найдите общее решение уравнения x² ⋅ d²y / dx² = 2

1) y = −2lnx + Cx + C₁

2) y = lnx + Cx + C₁

3) y = −lnx + Cx + C₁

Найдите общее решение уравнения x⁴y'' = 5

1) y = 5 / (6x²) + C₁x + C₂

2) y = 5 / (6x²) + C₂

3) y = −5 / (3x²) + C₁x + C₂

4) y = 5x² / 6 + C₁x + C₂

Найдите общее решение уравнения xy' – y = 0

1) y(x) = C₁x

2) y(x) = C₁x + C₂

3) y(x) = C₁ + x

Найдите общее решение уравнения xy²dy = (x³ + y³)dx

1) y³ = 3x³ln|Cx|

2) y³ = 3xln|Cx|

3) y³ = 3x³lnCx

Найдите общее решение уравнения y' – y / x = x(x + 2)

1) y = x³/2 + 2x² + Cx

2) y = x³/2 + 2x² + C

3) y = x³/2 + 2x²

4) y = x³/2 + 2x + C

Найдите общее решение уравнения y' – y / x = x

1) y = x² + Cx

2) y = x² − Cx

3) y = 2x² + Cx

Найдите общее решение уравнения y' – y / x = xcos2x

1) y = Cx + xsin2x / 2

2) y = (sin2x + C) ⋅ 1/x

3) y = (−1/2 ⋅ sin2x + C) ⋅ 1/x

4) y = 1 / (2x) ⋅ sin2x

Найдите общее решение уравнения y' +y/x = sinx/x

1) y = 1/x ⋅ (C − cosx)

2) y = 1/x ⋅ (C − sinx)

3) y = 1/x ⋅ (C + cosx)

Найдите общее решение уравнения y' = (y / x)² + y / x + 4

1) 1/2 ⋅ arctg(y/2x) = ln|Cx|

2) 1/2 ⋅ arctg(y/2x) = lnCx

3) arctg(y/x) = ln|Cx|

4) 1/2 ⋅ arctg(y/x) = ln|Cx|

Найдите общее решение уравнения y'' – 9y = 0

1) y = C₁e⁻³ˣ + C₂e³ˣ

2) y = C₁cos3x + C₂sin3x

3) y = C₁ + C₂e³ˣ

4) y = e³ˣ(C₁ + C₂x)

Найдите общее решение уравнения y'' – 9y = e²ˣ

1) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ − 1/5 ⋅ e²ˣ

2) y = C₁e³ˣ + C₂ − 1/2 ⋅ e²ˣ

3) y = e³ˣ(C₁ + C₂x) − 1/2 ⋅ e²ˣ

4) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ − e²ˣ

Найдите общее решение уравнения y'' – y = 0

1) y = C1e-x + C2ex

2) y = C1ex + C2ex

3) y = Cex + C1e-x

Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' – 3y = 0

1) y = C₁eˣ + C₂e⁻³ˣ

2) y = C₁e⁻ˣ + C₂e³ˣ

3) y = e³ˣ(C₁ + C₂x)

4) y = C₁ˣ + C₂e³ˣ

Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' = 5e³ˣ

1) y = C₁ + C₂e⁻²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ

2) y = C₁ + C₂e⁻²ˣ + 5e³ˣ

3) y = C₁x + C₂e⁻²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ

4) y = C₁ + C₂e²ˣ + 1/3 ⋅ e³ˣ

Найдите общее решение уравнения y'' − 9y = e²ˣ

1) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ - 1/5 ⋅ e²ˣ

2) y = C₁e³ˣ + C₂ - 1/2 ⋅ e²ˣ

3) y = e³ˣ(C₁ + C₂x) - 1/2 ⋅ e²ˣ

4) y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ + e²ˣ

Найдите общее решение уравнения y′ = sin x + 2

1) y = -cosx + 2x + C₁

2) y = cosx + 2x + C₁x + C₂

3) y = -sinx + 2x + C₁

4) y = -sinx + x² + C₁

Найдите общее решение уравнения y′′ = cos x

1) y = −cosx + Cx + C₁

2) y = −sinx + Cx + C₁

3) y = cosx + Cx + C₁

Найдите первообразную для функции f(x) = ∛x + 1

1) 3/4 ⋅ x^(4/3) + x + C

2) 4/3 ⋅ x^(4/3) + x + C

3) 3/4 ⋅ x^(3/4) + x + C

Найдите первообразную для функции f(x) = 15 / 4∜x

1) 5∜(x³) + C

2) ∜(x³) + C

3) 5∜(x⁵) + C

Найдите первообразную для функции f(x) = 5x^4

• X^5
• X^4
• 5X^5

Найдите площадь области, ограниченной кривой y = 1/4 x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью Ох

1) 17

2) 1/4

3) 1

4) 0

Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой y = x3, прямыми x = -1, x = 2 и осью Ox

1) 4 1/4

2) 1/4

3) 2 1/8

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3√x , x = -1 , y = 0

1) 3/4

2) 4/3

3) 12

4) 1

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6x – x^2, y = 0

1) 36

2) 6

3) 2/3

4) 4

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = x² + 1

1) 9/2

2) 2/9

3) 9

4) 0

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2+1, y = 0, x = 0, x = 2

1) 14/3

2) 5/3

3) 5

4) 1

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² – 5x + 6, y = 0

1) 1/6

2) 36

3) 12

4) 6

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами: y = –x², y = x² – 2x – 4

• 9
• 12
• 4
• 36

Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 4x, x = 4 и осью Ox

• 32
• 16
• 8
• 4

Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 5x, x = 2 и осью Ox

• 10
• 7
• 15

Найдите полный дифференциал функции z = sinxy + x²y²

• dz = (y cosxy + 2xy2) dx + (x cosxy + 2yx2) dy
• dz = y cosxy dx + 2xy2dy
• dz = - x cosxy dx + 2xy2
• dz = cosxy dx + 4xy dy

Найдите полный дифференциал функции z = x²y + xy²

1) dz = (2xy + y²)dx + (x² + 2xy)dy

2) dz = (xy + y²)dx + (x² + xy)dy

3) dz = (2xy + y)dx + (x + 2xy)dy

Найдите предел lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ, при x ⟶ ∞

• e^-1
• ∞
• -1
• 0

Найдите предел lim (√(1 – x) – √(1 + x))² / x², при x ⟶ 0

• 1
• 0
• -1
• ∞

Найдите предел lim (√(1 + 3x) – √(2x + 6)) / (x² – 5x), при x ⟶ 5

1) 1/40

2) −1/40

3) ∞

4) 2

Найдите предел lim (√(5 – x) – 2) / (√(2 – x) – 1), при x ⟶ 1

1) 1/2

2) −1/2

3) 1/3

4) −1/3

Найдите предел lim (√(x + 4) – 3) / (x² – 25), при x ⟶ 5

1) 1/60

2) 3/25

3) ∞

4) 1/6

Найдите предел lim (√(x + 5) – 2) / (√(x + 10) – 3), при x ⟶ -1

1) 1,5

2) −1,5

3) 2/3

4) 1/2

Найдите предел lim (1 – 5 / x)ˣ, при x ⟶ ∞

• e^-5
• e^5
• e^2
• e^3

Найдите предел lim (1 – 7 / x)ˣ, при x ⟶ ∞

1) 1 / e⁷

2) −e⁷

3) e⁷

4) −1 / e⁷

Найдите предел lim (1 – cos6x) / x², при x ⟶ 0

1) 18

2) −18

3) 2/9

4) −2/9

Найдите предел lim (1 – cos8x) / x², при x ⟶ 0

• 32
• 0
• ∞
• 16

Найдите предел lim (1 + 3 / x)³ˣ, при x ⟶ ∞

• e^9
• 0
• ∞
• e

Найдите предел lim (2x³ + 3x² + x) / (x² + 4), при x ⟶ ∞

• ∞
• 0
• 1

Найдите предел lim (5x⁶ + 7) / (x² + 1), при x ⟶ ∞

• ∞
• 6
• 0
• 5

Найдите предел lim (x / (x + 1))ˣ, при x ⟶ ∞

1) 1/e

2) −1/e

3) ∞

4) 1/e²

Найдите предел lim (x / (x + 6))ˣ, при x ⟶ ∞

1) 1/e⁶

2) 1/e

3) -e⁶

4) e⁶

Найдите предел lim (x² + 4x) / (x – 1), при x ⟶ -2

1) 4/3

2) 4

3) −4/3

Найдите предел lim 2x / (x – 1), при x ⟶ 0

• 0
• ∞
• -2
• 2

Найдите предел lim tg15x / sin3x, при x ⟶ 0

1) 5

2) 0,5

3) 1/3

4) 1/5

Найдите предел lim tg3x /sin5x, при x ⟶ 0

1) 3/5

2) −3/5

3) 1/5

4) −1/5

Найдите предел lim tg5x / x, при x ⟶ 0

• 5
• ∞
• 1
• -1

Найдите предел lim x / sin10x, при x ⟶ 0

• 0,1
• 0
• ∞
• 10

Найдите производную функции (4x – 7) / (2x – 7)

1) −14 / (2x −7)²

2) 14 / (2x − 7)²

3) (16x − 42) / (2x − 7)²

4) −14 / (2x − 7)

Найдите производную функции f(t) = ln(2cos t)

1) −tgt

2) tgt

3) 1/2 ⋅ tgt

Найдите производную функции f(x) = ln(2 + n/x)

1) −n / (x(2x + n))

2) 1 / (2x + n)

3) n / (x(2x + n))

4) x / (5x + m)

Найдите производную функции y = cos(5x⁴ + 2)

1) −20x³sin(5x⁴ + 2)

2) −sin(5x⁴ + 2)

3) −sin20x³

4) 20x³sin(5x⁴ + 2)

Найдите производную функции y = x√x∛x

1) 11/6 ⋅ x^(5/6)

2) x^(5/6)

3) 3x√(x²)

Найдите производную функции y = xe^x – e^x

• xe^x
• e^x
• xe

Найдите промежутки возрастания или убывания функции y = –2x² + 8x – 1

• убывает при x > 2, возрастает x < 2
• убывает при x < 2, возрастает x > 2
• убывает при x > -2, возрастает x < -2

Найдите промежутки возрастания или убывания функции y = –5x² + 2x – 4

1) возрастает при x < 1/5 и убывает при x > 1/5

2) возрастает при x > 1/5 и убывает при x < 1/5

3) убывает при x > −1/5 и возрастает при x < −1/5

4) возрастает при x < 2/5 и убывает при x > 2/5

Найдите промежутки возрастания или убывания функции y = x² – 3x + 1

1) убывает при x < 3/2, возрастает при x > 3/2

2) убывает при x < 2/3, возрастает при x > 2/3

3) убывает при x > 3/2, возрастает при x < 3/2

Найдите путь, пройденный точкой за первые 5 с от начала движения. Тело движется прямолинейно со скоростью υ(t) = (3 + 3t²) м/с.

• 140 м
• 125 м
• 128 м
• 100 м

Найдите радиус сходимости ряда 1 / 4 + x / 5 + x² / 6 – x³ / 7 + … xⁿ / (n + 4) + …

1) R = 1

2) R = 4

3) R = 1/4

4) R = ∞

Найдите радиус сходимости ряда x / (1 ⋅ 2) + x² / (2 ⋅ 2²) + x³ / (3 ⋅ 2³) + … + xⁿ / (n ⋅ 2ⁿ) + …

1) R = 2

2) R = 1

3) R = 1/2

4) R = ∞

Найдите радиус сходимости ряда x / 1 + x² / 2 + x³ / 3 + … + xⁿ / n + …

• R = 1
• R = -1
• R = 0
• R = ∞

Найдите среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону , для промежутка времени от t₁ = 2 до t₂ = 4

• 12
• 4
• 8

Найдите точки максимума (минимума) функции y = –5x² – 2x + 2

• (-0,2; 2,2) – точка максимума
• (2,2; -0,2) – точка минимума
• (-0,2; 0) – точка максимума

Найдите точки максимума (минимума) функции y = –x² + 4x

• (2; 4) – точка максимума
• (2; 4) – точка минимума
• (-2; 4) – точка максимума

Найдите точки максимума (минимума) функции y = x / (1 + x²)

• (-1; -0,5) – точка минимума, (1; 0,5) – точка максимума
• (-0,5; -1) – точка минимума, (1; 0,5) – точка максимума
• (-0,5; -1) – точка минимума, (0,5; 10,5) – точка максимума

Найдите точку перегиба кривой y = –x³ + 6x² – 15x + 10

• (2; -4)
• (-2; 4)
• (-2; -4)
• (2; 4)

Найдите точку перегиба кривой y = 1/3 ⋅ x³ – x

• (0; 0)
• (1; 1)
• (0; 1)
• (-1; 0)

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6

1) y = 11/2 ⋅ e⁻⁴ˣ + 1/2

2) y = e⁻⁴ˣ + 1/2

3) y = 11/2 ⋅ e⁴ˣ + 1/2

4) y = −11/2 ⋅ e⁻⁴ˣ + 1/2

Найдите частное решение уравнения 2sdt = tds, если при t = 1 s = 2

1) s = 2t²

2) s = 2t

3) s = t²

Найдите частное решение уравнения ds = (4t – 3)dt, если при t = 0 s = 0

1) s = 2t² − 3t

2) s = t² − 2t

3) s = t² + 3t

Найдите частное решение уравнения xdx = dy, если при x = 1 y = 0

1) y = 1/2 ⋅ (x² - 1)

2) y = 1/2 ⋅ x

3) y = (x² - 1)

Найдите частные производные второго порядка функции z = x³y⁴ + ycosx

1) (∂²z/∂x²) = 6xy⁴ − ycosx, (∂²z/∂y²) = 12x³y², (∂²z/∂x∂y) = 12x²y³ − sinx

2) (∂²z/∂x²) = 3x²y⁴ − ysinx, (∂²z/∂y²) = 4x³y³ − cosx, (∂²z/∂x∂y) = 6x ⋅ 4y − sinx

3) (∂²z/∂x²) = 6xy⁴ − ycosx, (∂²z/∂y²) = 12x³y² − cosx, (∂²z/∂x∂y) = 12x²y³ + sinx

4) (∂²z/∂x²) = 3x²y⁴ − ycosx, (∂²z/∂y²) = 12x³y², (∂²z/∂x∂y) = 6xy³ − sinx

Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y

1) ∂²z/∂x² = 0; ∂²z/∂y² = −xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 + cosy

2) ∂²z/∂x² = 1; ∂²z/∂y² = xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 + cosy

3) ∂²z/∂x² = 0; ∂²z/∂y² = xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 − cosy

Найдите частные производные функции двух переменных z = xeʸ + yeˣ

1) ∂z/∂x = eʸ + yeˣ, ∂z/∂y = xeʸ + eˣ

2) ∂z/∂x = eʸ + eˣ, ∂z/∂y = eʸ + eˣ

3) ∂z/∂x = xeʸ + eˣ, ∂z/∂y = eʸ + yeˣ

4) ∂z/∂x = xeʸ + yeˣ, ∂z/∂y = xeʸ + yeˣ

Найдите частные производные функции двух переменных z = xsin y + ysin x

1) ∂z/∂x = siny + ycosx; ∂z/∂y = xcosy + sinx

2) ∂z/∂x = siny + cosx; ∂z/∂y = cosy + sinx

3) ∂z/∂x = xsiny + cosx; ∂z/∂y = cosy + ysinx

Найдите частные производные функции трех переменных z = (t⁴ + 3x²) ⋅ cosy

1) (∂z/∂x) = 6x ⋅ cosy, (∂z/∂y) = −(t⁴ + 3x²) ⋅ siny, (∂z/∂t) = 4t³ ⋅ cosy

2) (∂z/∂x) = (t⁴ + 6x) ⋅ cosy, (∂z/∂y) = (t⁴ + 3x²) ⋅ siny, (∂z/∂t) = (4t³ + 6x) ⋅ cosy

3) (∂z/∂x) = 6x ⋅ cosy + 4t³, (∂z/∂y) = (t⁴ + 3x²) ⋅ cosy - 6x ⋅ siny, (∂z/∂t) = (4t³ + 6x) ⋅ cosy

4) (∂z/∂x) = 6x ⋅ cosy, (∂z/∂y) = (t⁴ + 3x²) ⋅ siny, (∂z/∂t) = 4t³ ⋅ siny

Найдите lim tg(xy) / x, при x ⟶ 0, y⟶4

• 4
• 1
• 0
• не существует

Определите поведение функции y = 2x^2 + x – 1 при x = -3

• убывает
• равна нулю
• постоянна
• возрастает

Относительно чего симметричен график нечетной функции?

• относительно начала координат
• относительно оси ординат
• относительно оси абсцисс

При решении каких уравнений используют подстановку y/x = t?

• при решении однородных уравнений
• при решении линейных уравнений
• при решении уравнений с разделяющими переменными

Процесс нахождения производной называется...

• интегрированием
• дифференцированием
• логарифмированием

Разложите в степенной ряд f(x) = arctg 3x

1) 3x − 3³x³/3 + 3⁵x⁵/5 − …

2) x − x³/3 + x⁵/5 − …

3) 3x − 3x³/3 + 3x⁵/5 − …

4) 3x − 3²x²/2 + 3³x³/3 − …

Разложите в степенной ряд f(x) = sin 2x

1) 2x/1! − 2³x³/3! + 2⁵x⁵/5! − …

2) 2x/1! − 2x³/3! + 2x⁵/5! − …

3) x/1! − x³/3! + x⁵/5! − …

4) 1 + 2x/1! + 2²x²/2! + …

Решите уравнение x'' – 2x' = 0

1) y = C₁ + C₂e²ᵗ

2) y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻²ᵗ

3) y = C₁e²ᵗ

4) y = −C₁e²ᵗ

Решите уравнение y'' – 4y = 0

1) y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ

2) y = C₁e²ˣ + C₂e²ˣ

3) y = C₁e²ˣ

4) y = −C₁e²ˣ

Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?

• 0,24 кГм
• 0,48 кГм
• 0,14 кГм

Сколько первообразных может иметь каждая функция?

• бесконечно много первообразных
• единственную первообразную
• ограниченное множество

Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v = 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?

• 490 м
• 360 м
• 150 м

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите линейное уравнение

1) y' + y = e⁻ˣ / (1 − x)

2) 2xyy' − y² + x = 0

3) y' + √(xy) = 0

4) xy'' = y'

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение

1) x²y' = xy + y²

2) 2xy' = y² − x

3) y' + y = e⁻ˣ / (1 − x)

4) xy'' = y'

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли

1) y' + y / x = y² / x

2) y' + y / x = sinx / x

3) y' + y / (x + 2) = 1

4) y' − y / x = e^(y/x)

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными

1) (xy² + x)dx + (x²y − y)dy = 0

2) ydx + (2√(xy) - x)dy = 0

3) (x² + y² + 2x)dx + 2xydy = 0

4) (x² − y²)dx + 2xydy = 0

Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка: 1) y' + y² / (x + 2) = eˣ; 2) y' – y / (x + 2) = eˣ ⋅ (x + 2); 3) y' – y / x = cos²(y/x); 4) y' – y / x = cos²x

• 2, 4
• 2, 3, 4
• 1, 2, 4
• 1, 4

Укажите какая из сумм является интегральной

1) ∑ f(𝛏ⱼ)Δxⱼ, j=1..n

2) ∑ f(𝛏ⱼ), j=1..n

3) ∑ f(𝛏ⱼ)xⱼ, j=1..n

Укажите необходимое условие экстремума

• в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f'(x) = 0), либо не существует
• в точке экстремума функции ее производная всегда равна нулю (f'(x) = 0)
• в точке экстремума функции ее производная не существует

Укажите необходимый признак сходимости ряда

1) если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при n⟶∞

2) если ряд сходится, то его n-й член стремится к бесконечности при n⟶0

3) если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при n⟶0

Укажите область определения функции √(x² – 2x – 8) + √x

1) [4; ∞)

2) (−∞; 4] ⋃ (4; ∞)

3) (−∞; 4]

4) (−∞; ∞)

Укажите область определения функции y = √(x² – 5)

1) (−∞; −√5] ∪ [√5; ∞)

2) (−∞; ∞)

3) (−∞; −5] ∪ [5; ∞)

4) (−√5; √5)

Укажите область определения функции y = √(x² – 9x – 22) + 1 / √x

1) [11; ∞)

2) (−∞; 11] ⋃ (11; ∞)

3) (−∞; 11]

4) (−∞; ∞)

Укажите область определения функции y = ∛(x² + 1)

1) (−∞; ∞)

2) (−∞; −1]

3) [−1; 1]

4) (−∞; 1] ⋃ [1; ∞)

Укажите область определения функции y = 1 / (4 - x)²

1) (−∞; 4) ⋃ (4; ∞)

2) (−∞; ∞)

3) (−∞; 0) ⋃ (0; ∞)

4) (−∞; 0) ⋃ (0; 4) ⋃ (4; ∞)

Укажите общее решение дифференциального уравнения (2x +1)dy = y²dx = 0

1) y = 2 / (ln|2x + 1| + C)

2) y = 2 ⋅ ln|2x + 1| + C

3) y = ln|2x + C|

4) y = 2 / ln|2x + 1|

Укажите общее решение уравнения y' – y / (x + 2) = x⁴(x + 2)

1) y = (x + 2) ⋅ (x⁵/5 + C)

2) y = (x⁵/5 + C) / (x + 2)

3) y = x⁵/5 ⋅ (x + 2)

4) y = (x + 2) ⋅ x⁵/5 + C

Укажите общее решение уравнения y' – y / x = x ⋅ 1 / cos²x

1) y = x(tgx + C)

2) y = (tgx + C) / x

3) y = xtgx

4) y = x²/2 ⋅ (tgx + C)

Укажите формулу для производной произведения функций u и v, если они дифференцируемы в некоторой точке и их произведение также дифференцируемо в этой точке

1) (u ⋅ v)' = u' ⋅ v + u ⋅ v'

2) (u ⋅ v)' = u' ⋅ v − u ⋅ v'

3) (u ⋅ v)' = u' + v'

4) (u ⋅ v)' = u' − v'

Укажите формулу интегрирования по частям

1) ∫ udv = uv − ∫ vdu

2) ∫ udv = uv + ∫ vdu

3) ∫ udv = uv − ∫ udu

Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5

1) y = 3e⁻²ˣ + 2

2) y = e⁻²ˣ + 5

3) y = ln|C − 2x|

4) y = 5 − 2x

Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?

• алгебраической сумме интегралов от этих функций
• алгебраической разности интегралов от этих функций
• алгебраическому произведению интегралов от этих функций

Чему равна производная постоянной функции?

• 0
• 1
• -1

Чему, согласно правилу Лопиталя, равен предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, если последний существует?

• пределу отношения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
• пределу произведения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
• пределу суммы производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций

Число F(X0) называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b], если

1) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀)

2) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀)

3) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) = f(x₀)

Что называется асимптотой кривой?

• прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность
• прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к единице при удалении точки М в бесконечность
• прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к бесконечности при удалении точки М в бесконечность

Что называется критическими точками второго рода?

• точки области определения, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует
• точки области определения, в которых первая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует
• точки области определения, в которых производная функции y = f(x) равна единице

Что называется порядком дифференциального уравнения?

• наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение
• наивысший порядок переменной, входящей в дифференциальное уравнение
• наивысший порядок второй производной, входящей в дифференциальное уравнение

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

1. Учебные материалы