💯 Высшая математика [Тема 1-4] (ответы на тесты Синергия / МОИ / МТИ / МосАП, апрель 2024)

Высшая математика > Тест 1 / Тест 2 / Тест 3 / Тест 4 / Итоговый тест

• правильные ответы на вопросы из тестов по данной дисциплине
• вопросы отсортированы в лексикографическом порядке

Высшая математика

• Введение
• Тема 1. Алгебра матриц
• Тема 2. Теория определителей
• Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений
• Тема 4. Основы векторной алгебры и ее применение в геометрии
• Итоговая аттестация

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен … матрицы

Тип ответа: Текcтовый ответ

Вектор a{4, −8, 11} имеет длину, равную … 

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• √201
• √202
• √203

Векторное произведение векторов a{1, 2, 3} и b{4, 5, 6} равно …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• {-3,6,-3}
• {3,6,3}
• {-3,-6,-3}

Векторное произведение векторов a{1, 2, 3} и b{6, 7, 8} равно …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• {-7,10,6}
• {-5,10,-5}
• {-7,-10,-6}

Дан вектор a = {2, 3, 2}. Найти вектор x, коллинеарный вектору a = {2, 3, 2} и удовлетворяющий условию (x, a) = 34.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x = {3, 6, 4}
• x = {4, 5, 4}
• x = {4, 6, 4}

Дана матрица A = ((1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8)). Найдем определитель матрицы: |A| = 1 ⋅ 3 ⋅ 8 + 0 ⋅ 5 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 ⋅ 4 − 1⋅ 3 ⋅ 0 − 1 ⋅ 5 ⋅ 4 − 0 ⋅ 2 ⋅ 8 = 24 + 0 + 8 − 0 − 20 − 0 = 12. Как был найден определитель матрицы?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Определитель матрицы был найден при помощи теоремы Лапласа.
• Определитель матрицы был найден при помощи элементарных преобразований.
• Определитель матрицы был найден при помощи формулы треугольника.

Дана матрица A = ((1, 1, −2), (1, 1, 2), (1, 2, 1)). В результате операции транспонирования была получена матрица Aᵀ = ((1, 1, 1), (1, 1, 2), (−2, 2, 1)). Каким образом была получена матрица АT?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Сложили строки и столбцы матрицы.
• Возвели матрицу в степень.
• Строки и столбцы поменяли местами с сохранением порядка.

Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2. Решая уравнение методом Крамера, какие действия необходимо совершить?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений.
• Записать матричное уравнение; вычислить определитель матрицы; найти обратную матрицу; найти алгебраические дополнения; решить систему матричного уравнения.
• Найти определитель матрицы; найти значения n определителей путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; найти значение неизвестных через отношения советующих полученных определителей к определителю изначальной матрицы.

Два вектора образуют базис на плоскости тогда и только тогда, когда эти векторы …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• коллинеарны
• компланарны
• неколлинеарны

Две матрицы А и В называются … матрицами, если их размеры совпадают и их соответствующие элементы равны

Тип ответа: Текcтовый ответ

Дистрибутивность (*) умножения справа относительно сложения матриц выглядит так: …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• C*(A+B)=C*A+C*B
• (A+B)*C=A*C+B*C
• C*(A-B)=C*A-C*B
• (A-B)*C=A*C-B*C

Для системы уравнений {3x₁ − x₂ = 1, 2x₁ + x₂ = 5, x₁ − 2x₂ = 0 установите соответствие между характеристиками и их значениями: 

Тип ответа: Сопоставление

• A. Ранг основной матрицы
• B. Ранг расширенной матрицы
• C. Количество решений системы
• D. 2
• E. 3
• F. 0

Если вектор a(3, −4, 5) умножить на число 6, тогда сумма координат ветора 6a будет равна …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 25
• 24
• 26

Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Если элементы двух строк (столбцов) матрицы …, то определитель равен нулю

Тип ответа: Текcтовый ответ

Квадратная матрица – это матрица, у которой …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• число строк не равно числу столбцов
• ниже главной диагонали лежат нули
• все элементы равны нулю
• число строк равно числу столбцов

Линейная комбинация векторов a₁, …, aₙ называется … комбинацией, если хотя бы один из коэффициентов λ₁, …, λₙ отличен от нуля

Тип ответа: Текcтовый ответ

Математик Джеймс Сильвестр ввел термин «матрица» в …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1860 г.
• 1840 г.
• 1850 г.
• 1870 г.

Матрица А называется …, если ее определитель отличен от нуля

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• вырожденной
• обратной
• невырожденной

Матрица называется … матрицей, если в каждой ее ненулевой строке имеется такой ненулевой элемент, что все остальные элементы столбца, содержащего этот элемент, равны нулю

Тип ответа: Текcтовый ответ

Матрица порядка n имеет … миноров (n– 1)-го порядка

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• n + 1
• n²
• n

Матрица, дважды транспонированная, равна …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• обратной матрице
• исходной матрице
• транспонированной матрице
• квадрату транспонированной матрицы

Минор элемента матрицы совпадает с алгебраическим дополнением в случае, когда …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (i + j) – нечетное число
• (i + j) – четное число
• (i + j) = 1

Неверно, что матрицы в паре … можно перемножить (укажите 2 варианта ответа)

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• ((1, 2), (3, 4), (5, 6)) и ((3, 4), (5, 6))
• ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (2, 0, 0)) и ((1, 2, 3), (0, 1, 2))
• ((1, 2, 3), (4, 5, 6)) и ((3, 4), (5, 6))
• ((5, −8), (−7, 4), (5, −5)) и ((−3, 4), (5, −6))

Неверно, что произведение матриц А и В вводится только в том случае, когда …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• матрица А согласована с матрицей В
• матрица В согласована с матрицей А
• число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В
• матрицы А и В одной размерности

Определитель квадратной матрицы равен … произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Тип ответа: Текcтовый ответ

Переход от матрицы А к новой матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется … матрицы А

Тип ответа: Текcтовый ответ

Понятие определителя вводится для … матриц

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• треугольных
• квадратных
• ступенчатых

Произведением матриц A = ((2, −5), (−3, 6), (4, 7)) и B = ((−3, 4), (5, −9)) называется матрица C, равная …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ((31, −53), (−39, 66), (−23, 47))
• ((−31, 53), (39, −66), (23, −47))
• ((25, 66), (−17, 47), (31, −53))
• ((21, 35), (33, −66), (32, −47))

Произведением матриц A = ((2, −5), (−3, 6), (4, 7)) и B = ((−3, 4), (5, −9)) называется матрица C, равная …

Тип ответа: Сортировка

• 1 ((−7452, 9355), (7484, −9323))
• 2 ((1076, −1325), (−1060, 1341))
• 3 ((−148, 195), (156, −187))
• 4 ((24, −25), (−20, 29))

Пусть дан вектор a{−3, 7, 2}, тогда длина вектора −2a равна …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Пусть дан вектор a{−3, 7, 2}, тогда длина вектора −4a равна …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• √992
• √990
• √989

Пусть дана матрица A = ((1, −1, 2), (3, 4, −5), (7, −9, −8)), тогда определитель транспонированной матрицы равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -167
• -175
• -176

Пусть дана матрица A = ((2, 3, −5), (4, −2, 6), (1, 1, −7), тогда ее определитель равен …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Пусть дана матрица A = ((2, 3, −5), (4, −2, 6), (1, 1, −7)), тогда определитель транспонированной матрицы равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 78
• -88
• 88

Пусть дана матрица A = ((2, 3, −5), (4, −2, 6), (1, 1, −7)), тогда сумма миноров M₁₃ + M₃₁ равна …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Пусть дана матрица A = ((2, 3), (4, −5)), тогда ее определитель равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 22
• -25
• -22

Пусть дана матрица A = ((3, −2), (−1, 5)), тогда вторая степень матрицы A (A²) равна …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ((11, −16), (−8, 27))
• ((9, 4), (1, 25))
• ((−3, 2), (1, 5))
• ((9, −4), (1, 25))

Пусть дана система уравнений {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда ее решение равно …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (1,2,1)
• (2,1,1)
• (2,1,2)

Пусть дана система уравнений {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда ее решение равно …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (4,0,-1)
• (4,2,-1)
• (4,3,-1)

Пусть дана система уравнений {3x + 2y − 4z = 8, 2x + 4y − 5z = 11, 4x − 3y + 2z = 1, тогда выражение x + y + z равно …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 6
• 7
• 8

Пусть дана система уравнений A = (2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A₁| этой системы равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 142
• 143
• 144

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда определитель |A₂| этой системы равен …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 3x₂ − x₃ = 9, x₁ − 2x₂ + x₃ = 3, x₁ + 2x₃ = 2, тогда определитель |A₃| этой системы равен …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A₂| этой системы равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -49
• -48
• -50

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A₃| этой системы равен …  

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -114
• -115
• -116

Пусть даны векторы a{1, 2, 3} и b{8, 9, 10}, тогда сумма координат вектора a + b равна …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Пусть даны векторы a{2, 3, 4} и b{5, 6, 7}, тогда сумма координат вектора a + b равна …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Разностью матриц А и В называется … матрицы А с матрицей, противоположной матрице В

Тип ответа: Текcтовый ответ

Разностью матриц A = ((7, −3), (2, 0)) и B = ((5, −2), (−3, 8)) является матрица C, равная …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ((2, −1), (5, −8))
• ((2, 1), (5, 5))
• ((2, −5), (−5, 0))
• ((2, −8), (−1, 5))

Ранг матрицы при элементарных преобразованиях …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• меняется
• не меняется
• уменьшается
• увеличивается

Расположите в правильном порядке шаги решения системы уравнений методом Гаусса:

Тип ответа: Сортировка

• 1 составить расширенную матрицу системы
• 2 с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
• 3 на основе полученной ступенчатой матрицы составить и решить систему линейных уравнений

Расположите выражения, известные для системы линейных уравнений {2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + x₄ = 1, x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 2x₄ = 3, 7x₁ + 5x₂ + 6x₃ + 7x₄ = 2, в порядке "основная матрица системы, расширенная матрица системы, матрица неизвестных, матрица правой части":

Тип ответа: Сортировка

• 1 ((2, 3, 4, 1), (1, 4, 3, 2), (7, 5, 6, 7))
• 2 ((2, 3, 4, 1, 1) (1, 4, 3, 2, 3), (7, 5, 6, 7, 2))
• 3 ((x₁), (x₂), (x₃))
• 4 ((1), (3), (2))

Расположите записи векторных операций в порядке «скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов»:

Тип ответа: Сортировка

• 1 (a, b)
• 2 a × b
• 3 (a × b, c)

Расположите значения миноров M₁₁, M₁₃, M₂₁, M₃₂ матрицы A = ((2, −7, 3), (4, 5, −2), (−8, 1, −3)) в порядке убывания:

Тип ответа: Сортировка

• 1 M₁₃
• 2 M₂₁
• 3 M₁₁
• 4 M₃₂

Расположите результаты умножения матрица A = ((3, 4), (0, −7), (−2, 5)) на число α в порядке α = 2, α = −3, α = 5, α = −5:

Тип ответа: Сортировка

• 1 ((6, 8), (0, −14), (−4, 10))
• 2 ((−9, 12), (0, 21), (6, −15))
• 3 ((15 20), (0, −35), (−10, 25))
• 4 ((−15, −20), (0, 35), (10, −25))

Расположите условия для векторов a{a₁, a₂, a₃} и b{b₁, b₂, b₃} в порядке "векторы коллинеарны, векторы перпендикулярны, векторы образуют острый угол":

Тип ответа: Сортировка

• 1 b₁ / a₁ = b₂ / a₂ = b₃ / a₃
• 2 a ⋅ b = 0
• 3 a ⋅ b > 0

Решением системы уравнений A = {2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1 будет …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ((142/63), (−7/9), (−116/63))
• ((142/63), (−7/12), (−116/63))
• ((−142/63), (7/9), (−116/63))

Система линейных уравнений называется … системой линейных уравнений, если все свободные члены в этой системе равны нулю

Тип ответа: Текcтовый ответ

Система уравнений {x₁ − 2x₂ + 3x₃ = 0, −x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 3x₄ = 0, −5x₁ + 2x₄ = 0 …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• имеет одно решение
• имеет бесконечно много решений
• не имеет решений

Скалярное произведение векторов a{2, 3, 4} и b{−1, −2, −3} равно …  

Тип ответа: Текcтовый ответ

Скалярное произведение векторов a{2, 5, 7} и b{−3, 4, −9} равно …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Сопоставьте миноры матрицы A = ((2, 3, 4), (5, −6, 7), (−8, 9, 0)) с их значениями: 

Тип ответа: Сопоставление

• A. M₁₂
• B. M₂₁
• C. M₃₂
• D. 56
• E. -36
• F. -6

Сумма координат вектора a = 2I + 3j − k равна …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Сумма координат вектора a = 8I − 4k равна …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Сумма элементов второй строки матрицы, обратной к матрице A = ((2, 3, 1), (0, 1, 0), (3, 1, 1)), равна …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Суммой матриц A = ((−2, 4, 5), (8, −10, 4)) и B = ((−5, 1, −2), (−4, 9, −3)) является матрица C, равная …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ((−7, 5, 3), (4, −1, 1))
• ((−7, −5, 3), (−4, 1, −1))
• ((7, −5, 3), (−4, 1, −1))
• ((7, 5, 3), (4, 1, −1))

Транспонированная матрица Aᵀ для матрицы A = ((2, −5), (−3, 6), (4, 7)) имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ((4, 7), (−3, 6), (2, −5))
• (−5, 6, 7), (2, −3, 4))
• ((7, 6, −5), (4, −3, 2))
• ((2, −3, 4), (−5, 6, 7))

Установите соответствие между матрицей и ее видом:

Тип ответа: Сопоставление

• A. ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 2))
• B. ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))
• C. ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
• D. ((3, 0, 0), (2, 4, 0), (5, 1, 5))
• E. квадратная матрица
• F. нулевая матрица
• G. единичная матрица
• H. нижняя треугольная матрица

Установите соответствие между понятием и его определением:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Векторы
• B. Единичные векторы
• C. Компланарные векторы
• D. направленные отрезки
• E. векторы, длина которых равна единице
• F. векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях

Установите соответствие между понятием и его определением:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Нуль-вектор
• B. Коллинеарные векторы
• C. Длина вектора
• D. вектор, начало и конец которого совпадают
• E. векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых
• F. длина соответствующего отрезка

Установите соответствие между размерностью матрицы и формулой для вычисления ее определителя:

Тип ответа: Сопоставление

• A. A(1×1)
• B. A(2×2)
• C. A(3×3)
• D. a₁₁
• E. a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁
• F. Σ (−1)ᵏ⁺¹a₁ₖM₁ₖ

Установите соответствие между свойствами сложения матриц А и В и их записями:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Коммутативность
• B. Ассоциативность
• C. Сложение с нейтральным элементом
• D. Сложение с противоположным элементом
• E. А + А = В + А
• F. (А + В) + С = А + (В + С)
• G. А + 0 = 0 + А
• H. А + (-а) = (-а) + А + 0

Установите соответствие понятия и его характеристики

Тип ответа: Сопоставление

• A. Совместная система уравнений
• B. Несовместная система уравнений
• C. Определенная система уравнений
• D. система уравнений, имеющая хотя бы одно решение
• E. система уравнений, не имеющая решений
• F. совместная система уравнений, имеющая единственное решение

Число, которое вычисляется по формуле a₁₁ ⋅ a₂₂ − a₁₂ ⋅ a₂₁ для матрицы A = ((a₁₁, a₁₂), (a₂₁, a₂₂)), называется …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Числовой матрицей размера m х n называется

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• четная или нечетная числовая функция
• прямоугольная таблица m х n чисел, состоящая из m строк и n столбцов
• вектор
• прямоугольная таблица m х n чисел, состоящая из m столбцов и n строк

Числовой множитель можно … за знак транспонирования

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• вносить
• удалять
• выносить
• умножать